Математическая энциклопедия - статистические задачи

теории случайных процессов раздел математич. статистики, посвященный статистич. выводам на основе наблюдений, представимых в виде случайного процесса. В самой общей постановке наблюдаются значения случайной функции х(t)для и на основании этих наблюдений надлежит сделать статистич. выводы о нек-рых характеристиках случайного процесса x(t). При столь широком определении сюда формально включается и вся классич. статистика независимых наблюдений. На самом деле под статистикой случайных процессов понимают только статистику зависимых наблюдений, исключая, напр., статистич. анализ большого числа независимых реализаций случайного процесса. При втом основания статистич. теории, основные постановки задач ( статистическое оценивание, статистических гипотез проверка), основные понятия (достаточность, несмещенность, состоятельность и т. д.) те же, что и в классич. теории. Однако при решении конкретных задач возникают порой значительные трудности и явления нового порядка. Частично эти трудности связаны с наличием зависимости, более сложной структуры наблюдаемого процесса, частично, в случае наблюдений с непрерывным временем, с необходимостью рассматривать распределения в бесконечномерных пространствах.

На самом деле при решении С. з. теории случайных процессов существенно используется структура наблюдаемого процесса и в соответствии с классификацией случайных процессов рассматривают С. з. гауссовских, марковских, стационарных, ветвящихся, диффузионных и т. д. процессов. При этом наиболее далеко продвинута статистич. теория стационарных процессов (анализ временных рядов).

Необходимость статистич. анализа случайных процессов возникла в 19 в.: анализ метеорологич., экономич. рядов, исследование циклич. процессов (колебания цен, солнечные пятна). В настоящее время круг задач, связанных со статистич. анализом случайных процессов, чрезвычайно широк. Достаточно упомянуть статистич. анализ случайных шумов, вибраций, турбулентных явлений, морского волнения, кардиограмм, энцефалограмм и т. д. Теоретич. аспекты проблемы выделения сигнала на фоне шума в значительной степени являются С. в. теории случайных процессов.

В дальнейшем предполагается, что наблюдается отрезок x(t), случайного процесса x(t), причем параметр tпробегает либо весь отрезок [0, Т],либо целые числа этого отрезка. Обычно в С. з. о распределении Р ^Т случайного процесса известно лишь, что оно принадлежит нек-рому семейству { Р ^T} распределений. Это семейство всегда можно записать в параметрич. форме.

Пример 1. Наблюдаемый процесс x(t)представляет собой либо сумму неслучайной функции s(t)(лсигнал

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985