Математическая энциклопедия - стационарной распределение

распределение вероятностей однородной Маркова цепи, не зависящее от времени. Пусть однородная цепь Маркова со множеством состояний Sи переходными вероятностями С. р.такой набор чисел что

Равенства (2) означают, что С. р. инвариантно во времени; если то при любых более того, при любых t, tl, . . ., tk>0,

.

Если такое состояние цепи Маркова что существуют пределы

то набор чисел удовлетворяет (2) и является С. р. цепи (см. также Переходные вероятности).

Система линейных уравнений (2) относительно при дополнительных условиях (1) имеет единственное решение, если число положительных классов состояний цепи Маркова равно 1; если цепь имеет kположительных классов состояний, то множество ее С. р. является выпуклой оболочкой kстационарных распределений, каждое из к-рых сосредоточено на одном положительном классе (см. Маркова цепи положительный класс состояний).

Любое неотрицательное решение системы (2) наз. стационарной мерой; стационарная мера может существовать и в случае, когда система (1), (2) несовместна. Напр., случайное блуждание на {0, 1, 2,...:

где независимые случайные величины такие, что

не имеет стационарного распределения, но имеет стационарную меру

Одна из возможных вероятностных интерпретаций стационарной меры цепи Маркова со множеством состояний Sтакова. Пусть имеется счетное множество независимых реализаций цепи и число реализаций, для к-рых Если случайные величины независимы и подчиняются распределению Пуассона со средними соответственно, то при любом t>0 случайные величины независимы и имеют те же распределения, что и

Лит.:[1] Чжун Кай-лай, Однородные цепи Маркова, пер. с англ., М., 1964; [2] Карлин С., Основы теории случайных процессов, пер. с англ., М., 1971.

А. М. Зубков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985