Математическая энциклопедия - стинрода квадрат

стационарная (стабильная) когомологическая операция Sqⁱ, типа повышающая размерность на i. Это означает, что для каждого натурального пи каждой пары топологич. пространств (X, Y) задан такой гомоморфизм что где кограничный гомоморфизм (стационарность) и f*Sqⁱ Sqⁱf^* для любого непрерывного отображения (естественность). С. к. Sqⁱ обладает следующими свойствами:

1) Sq⁰=--id;

2) где гомоморфизм Бокштейна, ассоциированный с короткой точной последовательностью групп коэффициентов

3) если i= dimx, то Sqⁱx=x²;

4) если i>dimx, то Sqⁱx=0;

5) (формула Картана)

6) (соотношения Адема) при а<2bSq^a где биномиальные коэффициенты mod 2.

В формуле Картана умножение можно считать как внешним ( -умножением), так и внутренним -умножением). Она равносильна утверждению, что отображение определенное формулой

является гоморфизмом колец. Из условия стационарности вытекает, что С. к. Sqⁱ перестановочны с надстройкой и трансгрессией.

Операции Sqⁱ однозначно характеризуются свойствами 1), 3), 4), к-рые поэтому можно принять за определяющие их аксиомы. Конструктивное определение операций Sqⁱ основывается на симплициальной структуре в группах цепей C*(X)и на существовании диагонального отображения Пусть W - минимальный ациклический свободный цепной -комплекс, т. е. цепной комплекс, для к-рого

где Т - образующая группы Методом ацикличных носителей или явным построением (см. [4]) доказывается существование такого эквивариантного цепного отображения

что

для любого симплекса (символом здесь обозначен наименьший подкомплекс цепного комплекса содержащий элемент Пусть Любым двум коцепям ставится в соответствие формулой для любого симплекса коцепь наз. их -произведением. Для кограницы этой коцепи имеет место формула

из к-рой следует, что формула корректно определяет нек-рый гомоморфизм

к-рый не зависит от выбора отображения

Аналогичным образом операции Sqⁱ строятся и в других симплициальных структурах с диагональным отображением, напр. в когомологиях симплициальных абелевых групп, симплициальных алгебр Ли и т. п. Однако при этом сохраняются не все свойства С. к. Sqⁱ (напр., вообще говоря, и единой общей теории обобщенных операций Sqⁱ до сих пор (1984) нет (см. [5], [6]).

Через С. к. и их аналоги при р>2 (см. Стинрода приведенная степень )выражаются многие когомологич. операции, действующие в группах когомологий с коэффициентами в группах и , Это определяет основополагающую роль, к-рую С. к. играют в алгебраич. топологии и ее приложениях. Напр., группы бордизмов вычисляются с помощью С. к.

С. к. введен Н. Стинродом [4].

Лит.:[1] Стинрод Н., Эпстейн Д., Когомологические операции, пер. с англ., М., 1983; [2] Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., ГутенмахерВ. Л., Гомотопическая топология, 2 изд., М., 1969; [3] Мошер Р. Э., Тангора М. К., Когомологические операции и их приложения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1970; [4] Stееnrоd N. Е., лAnn. Math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985