Математическая энциклопедия - стинрода - эйленберга аксиомы

основные свойства групп гомологии (когомологий), однозначно определяющих рассматриваемую теорию гомологии (когомологий). На нек-рой категории нар (X, А) топология, пространств задана аксиоматическая теория гомологий, если при любом целом qкаждой паре (X, А )сопоставлена абелева группа (или модуль над нек-рым кольцом) Н q(X, А), а каждому отображению гомоморфизм таким образом, что выполнены следующие аксиомы:

1) f* тождественный изоморфизм, если f тождественный гомеоморфизм;

2) (gf)*=g* f*, где

3) определены связывающие гомоморфизмы причем дf*=f* д (здесь пустое множество, а определяемое f отображение обозначено через f);

4) аксиома точности: гомологическая последовательность где естественные вложения, точна, т. е. ядро каждого следующего гомоморфизма совпадает с образом предыдущего;

5) аксиома гомотопии: f*=f'* для гомотопных в категории отображений f,

6) аксиома вырезания: если замыкание в X открытого в X подмножества Uсодержится во внутренности А, а вложение принадлежит категории, то i* изоморфизмы;

7) аксиома размерности: Hq (Р)=0 при для любого одноточечного Р. Группа H0 (Р) наз. обычно группой коэффициентов. Двойственным образом определяются аксиоматич. когомологий (отображениям f соответствуют гомоморфизмы связывающие гомоморфизмы имеют вид В категории компактных полиэдров обычные гомологии и когомологий являются единственными аксиоматич. теориями с данной группой коэффициентов (теорема единственности). В категории всех полиэдров теорема единственности справедлива при дополнительном требовании, что гомологии (когомологий) объединения открыто-замкнутых попарно не пересекающихся подпространств естественно изоморфны прямой сумме гомологии (прямому произведению когомологий) подпространств (аксиома аддитивности Милнора). Имеется аксиоматич. описание гомологии и когомологий и в более общих категориях топологич. пространств (см. [2], [3]). Обобщенные теории когомологий удовлетворяют всем С.-Э. аксиомам (кроме размерности), но не определяются ими однозначно.

Лит.:[1] Стинрод Н., Эйленберг С., Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [2] Петкова С. В., лМатем. сб.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985