Математическая энциклопедия - стохастический интеграл

интеграл по семимартингалу X, определенный для всякого предсказуемого процесса локально ограниченного Одна из возможных конструкций С. и. состоит в следующем. Сначала С. и. определяется для простых предсказуемых процессов Н, имеющих вид

В этом случае под С. и. (или или понимают величину

Отображение где допускает продолжение (обозначаемое на множество всех ограниченных предсказуемых функций, обладающее следующими свойствами:

а) процесс является непрерывным справа и имеющим пределы слева;

б) линейно, т. е.

в) если { Н ^п} - последовательность предсказуемых равномерно ограниченных функций, Н - предсказуемая функция и

то

При этом продолжение единственно в том смысле, что если другое отображение со свойствами а) в), то и стохастически неразличимы .

Определение

данное для функций имеет смысл для любого процесса X, а не только для семимартингала. Продолжение с указанными свойствами а) в) на класс ограниченных предсказуемых процессов оказывается возможным лишь для того случая, когда Xесть семимартингал. В этом смысле класс семимартингалов является тем максимальным классом, для к-рого определен С. и. с естественными свойствами а) в). Если X - семимартингал, а марковский момент, то лостановленный

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985