Математическая энциклопедия - стохастическая матрица

квадратная (возможно, бесконечная) матрица с неотрицательными элементами такими, что

при любом i. Множество всех С. м. n-го порядка представляет собой выпуклую оболочку п ⁿ С. м., составленных из нулей и единиц. Любую С. м. Рможно рассматривать как переходных вероятностей матрицу цепи Маркова с дискретным временем.

Абсолютные величины собственных значений С. м. не превосходят единицы; единица является собственным значением любой С. м. Если С. м. Рнеразложима (цепь Маркова имеет один положительный класс состояний), то единица является простым собственным значением матрицы Р(т. е. имеет кратность 1); в общем случае кратность собственного значения 1 совпадает с числом положительных классов цепи Маркова Если С. м. неразложима и положительный класс состояний цепи Маркова имеет период d, то множество всех собственных значений матрицы Р, как множество точек комплексной плоскости, переходит в себя при повороте на угол При d=l С. м. Ри цепь Маркова наз. непериодическими.

Левые собственные векторы С. м. Рконечного порядка, соответствующие единичному собственному значению:

и удовлетворяющие условиям определяют стационарные распределения цепи Маркова в случае неразложимой С. м. Рстационарное распределение единственно.

Если Р - неразложимая непериодическая С. м. конечного порядка, то существует

где П матрица, каждая строка к-рой совпадает с вектором (см. также Маркова цепь эргодическая;для бесконечных С. м. . система уравнений (1) может не иметь ненулевых решений, удовлетворяющих условию в этом случае матрица П нулевая). Скорость сходимости в (2) можно оценить геометрич. прогрессией с любым показателем к-рый по модулю больше всех собственных значений матрицы Р, отличных от 1.

Если С. м. ге-го порядка, то любое ее собственное значение удовлетворяет неравенству (см. [3]):

Описано множество М п, являющееся объединением множеств собственных значений всех С. м. n-го порядка (см. [4]).

С. м. удовлетворяющая дополнительному условию

наз. дважды стохастической матрицей. Множество дважды стохастич. матриц n-го порядка представляет собой выпуклую оболочку перестановочных матриц ге-го порядка (т. е. дважды стохастич. матриц, составленных из нулей и единиц). Стационарное распределение конечной цепи Маркова с дважды стохастич. матрицей Рявляется равномерным.

Лит.:[1] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; [2] Беллман Р., Введение в теорию матриц, пер. е англ., М., 1969; [3] Маркус М., Минк X., Обзор по теории матриц и матричных неравенств, пер. с англ., М., 1972; [4] Карпелевич Ф. И., лИзв. АН СССР. Сер. матем.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985