Математическая энциклопедия - стохастическое дифференциальное уравнение

для процесса по винеровскому процессу уравнение вида

где a(t, X )и b(t, X) - неупреждающие функционалы, а случайная величина играет роль начального значения. Различают два понятия решения С. д. у.сильное и слабое.

Пусть вероятностное пространство с выделенным на нем неубывающим семейством -алгебр винеровский процесс. Говорят, что непрерывный стохастич. процесс есть сильное решение С. д. у. (1) с коэффициентами сноса a(t, X), диффузии b(t, X )и начальным значением если для каждого t>0 с вероятностью единица

где подразумевается, что входящие в (2) интегралы определены.

Первый общий результат относительно существования и единственности сильного решения С. д. у. вида

был получен К. Ито (К. Но). Им было показано, что если для каждого t>0 функции a(t, x )и b(t, x )удовлетворяют по хусловию Липшица и растут не быстрее, чем линейно, то существует непрерывное решение уравнения (3) и оно единственно в том смысле, что если другое непрерывное решение, то

Для случая измеримость и ограниченность коэффициента (вектора) сноса a(t, x )обеспечивает существование и единственность сильного решения. Уравнение вообще говоря, не имеет сильного решения для любого ограниченного неупреждающего функционала a(t, X).

При рассмотрении понятия слабого решения С. д. у. (1) не фиксируются заранее вероятностное пространство с семейством s-алгебр винеровский процесс и случайная величина а фиксируются лишь неупреждающие функционалы a(t, X), b(t, X), определенные для непрерывных функций функция распределения F(х)(так сказать, начального значения). Тогда под слабым решением С. д. у. (1) с заданными a(t, X), b(t, X) и F(x) понимается набор объектов

где винеровский процесс относительно связаны соотношением

причем Иногда термин лслабое решение

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985