Математическая энциклопедия - вполне ограниченное пространство

-метрическое пространство X, к-рое при любом может быть представлено как объединение конечного числа множеств диаметра меньше . Равносильное условие: для каждого в пространстве Xсуществует конечная -сеть, т. е. такое конечное множество А, что каждая точка множества Xотстоит от нек-рой точки множества Ана расстоянии, меньшем e. В. о. п. являются те и только те метрич. пространства, к-рые могут быть представлены как подпространства метрич. бикомпактных пространств. Метрич. В. о. п., рассматриваемые как топологические, в точности исчерпывают все регулярные пространства со счетной базой. Подпространство евклидова пространства является В. о. п. в том и только в том случае, если оно ограничено. Обратное не верно: бесконечное множество, в к-ром расстояние между любыми двумя различными точками равно 1, а также сфера н шар гильбертова пространства являются ограниченными, но не вполне ограниченными метрич. пространствами. О значении понятия В. о. п. свидетельствует теорема: метрич. пространство является компактом в том и только в том случае, если оно вполне ограничено и полно. Метрич. пополнение метрич. В. о. п. есть компакт. Образ метрич. В. о. п. при равномерно непрерывном отображении есть В. о. и.

Лит.:[1] Келли Д ж. Л., Общая топология, пор. с англ., М., 1968; [2] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.-Л., 1937; [3] Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.-Л., 1948; [4] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы функционального анализа, 4 изд., М., 1976. А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985