Математическая энциклопедия - вполне регулярное пространство

топологическое пространство, в к-ром всякие два множества, из к-рых одно замкнуто, а другое состоит лишь из одной точки, функционально отделимы (см. Отделимости аксиомы). В. р. п., в к-рых все одноточечные множества замкнуты (т. е. вполне регулярные -пространства), часто наз. тихоновскими пространствами. Они образуют один из важнейших классов топология, пространств, выделяющийся многими замечательными свойствами и особенно часто встречающийся в приложениях топологии к другим областям математики. Так, напр., пространство всякой топологич. группы является В. р. п., но может не быть нормальным пространством. Все тихоновские пространства являются ха-усдорфовыми и могут быть определены как пространства, имеющие (хаусдорфовы) бикомпактные расширения, т. е. как (даже всюду плотные) подпространства бикомпактов. Среди этих расширений данного пространства имеется единственное с точностью до гомеоморфизма максимальное или Стоуна Чеха бикомпактное расширение, к-рое может быть непрерывно отображено на всй-кое (хаусдорфово) бикомпактное расширение данного пространства так, что каждая его точка отображается в себя.

Прямое определение тихоновских пространств без привлечения действительных чисел и функций основано (см. [3]) на рассмотрении двух сопряженных баз пространства открытой и замкнутой , причел сопряженность этих баз означает, что каждая база состоит из множества, дополнительных к множествам, составляющим другую базу. Такая пара сопряженных баз наз. регулярной, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) всякие два дизъюнктные замкнутые множества базы имеют дизъюнктные окрестности, принадлежащие ; 2) база является сетью, т. е. для произвольной точки хОХи ее произвольной окрестности Ох в базе найдется такой элемент В, что . Для того чтобы -пространство было вполне регулярным, необходимо и достаточно, чтобы оно обладало хотя бы одной регулярной парой сопряженных баз (теорема Зайцева).

Лит.:[1] Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.-Л., 1948; [2] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1970; [3] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. с англ., М., 1968: [4] Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973; [5] Зайцев В. И., "Вести. Моск. ун-та. Сер. матем.", 1967, М 3, с. 48-57. П. С. Александров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985