Математическая энциклопедия - якоби эллиптические функции

эллиптические функции, возникшие при непосредственном обращении эллиптических интегралов в нормальной форме Лежандра. Эта задача обращения была решена в 1827 независимо К. Якоби (С. Jacobi) и, в несколько иной форме, Н. Абелем (N. Abel). Конструкция Якоби основывается на применении тета-функций.

Пусть комплексное число с Тета-функции Якоби представляют собой следующие ряды, абсолютно и равномерно сходящиеся на компактах плоскости комплексного переменного v:

Эти ряды достаточно быстро сходятся. Обозначения восходят к К. Вейерштрассу (К. Weierstrass). Вместо часто пишут имеются и другие системы обозначений. Сам К. Якоби применял обозначения: где

Все тета-функции Якоби представляют собой целые трансцендентные функции комплексного переменного v, причем нечетная функция, а остальные функции четные.

Имеют место следующие соотношения периодичности:

из к-рых вытекает, что тета-функции являются эллиптич. функциями III рода по Эрмиту.

Различные тета-функции связаны между собой формулами преобразования:

Все четыре тета-функции удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению

Важное значение имеют так наз. нулевые значения тета-функций при этом Между ними имеются следующие соотношения:

По отдельности

где

Функция имеет простые нули в точках в точках в точкax в точках

Из соотношений периодичности видно, что нек-рые отношения тета-функции будут эллиптич. функциями в собственном смысле. Основные эллиптические функции Якоби snu(синус амплитуды). сn.(косинус амплитуды )и dnu (дельта амплитуды). Эти обозначения введены X. Гудерманом (Ch. Gudermann, 1838). Названия происходят от старых обозначений, введенных самим К. Якоби (znи==sin аmu, cnu=cos amu, dnu=amu)и позднее вышедших из употребления.

Новое переменное исвязано с . соотношением u= Если модуль эллиптических функций, то Я. э. ф. следующим образом выражаются через тета-функции или посредством сходящихся в окрестности начала степенных рядов:

Удобные обозначения для обратных величин и отношений были введены Дж. Глейшером(J. Glaisher, 1882):

Я. э. ф. snu, сnи, dnu являются эллиптич. функциями 2-го порядка с периодами: 4K и 2iK' для snu; 4K и 2(K+iK' )для сnи; 2Ки 4iK' для dnu. Здесь K= значения полных эллиптич. интегралов I рода, дополнительный модуль эллиптических функций. Я. э. ф. имеют только простые полюсы, расположенные в точках 2mK+(2n+1)iK'; т,

Три Я. э. ф. связаны соотношениями:

и дифференциальными уравнениями

Теоремы сложения дяя Я. э. ф. имеют вид:

Связь Я. э. ф. с эллиптич. интегралами выражается в том, что если

эллиптич. интеграл I рода в нормальной форме Лежандра, то его обращение имеет вид z=snu; в этом и состоял исходный пункт теории Якоби. Переменная есть бесконечнозначная функция от ии наз. амплитудой эллиптического интеграла u,

Основные соотношения между постоянными:

В прикладных задачах обычно задан модуль k, причем чаще всего имеет место так наз. нормальный случай 0<k<1, или задан дополнительный модуль 0<k'<1. Требуется найти К, К', или Полагая при 0<k<l имеем Для определения qполучается быстро сходящийся при ряд

Значения полных эллиптич. интегралов . и К' определяются по формулам

или при помощи таблиц.

При k =0 и k =1 Я. э. ф. вырождаются соответственно в тригонометрич. и гиперболич. функции:

В теоретич. отношении более простое построение теории эллиптич. функций дано К. Вейерштрассом к 1802-63 (см. Вейерштрасса эллиптические функции ). При заданном модуле k, 0<k <1, инварианты Вейерштрасса e 1, е 2, е 3 вычисляются, напр., по формулам е 1= (2-k ²)/3, е 2=(2k ²-1)/3, е 3=-(1+k ²)/3, и далее g 2= -4(e 1e 2+e 2e 3+e 3e 1), g 3=4e 1e 2e 3. Полупериоды теперь определяются по формулам что и дает возможность вычислить все остальные величины, относящиеся к эллиптич. функциям Вейерштрасса.

Лит.:[1] Jасоbi С., Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Konigsberg, 1829; Gesammelte Werke, Bd 1, В., 1881; [2] Axиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970; [3] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; [4] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ 2 изд., ч. 2, М., 1963; [5] Еnnереr A., Elliptische Funktionen. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Halle/Saale, 1890; [6] Tannery J., Molk J., Elements de la theorie des functions elliptigues, t. 1-4, P., 1983-1902; [7] Журавский А. М., (Справочник по эллиптическим функциям, М.Л., 1941; [8] Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф,, Специальные функции Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 3 изд., М., 1977.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985