Математическая энциклопедия - якоби многочлены

многочлены, ортогональные на отрезке [-1, 1] с весовой функцией

Стандартизованные Я. м. определяются Рoдрига фoрмулой

а ортонормированные Я. м. имеют вид

Многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению

При и для ортонормированных Я. м. имеет место весовая оценка

где постоянная с 1 не зависит от пи х. А в точках последовательность возрастает со скоростью и соответственно.

Ряды Фурье по Я. м. внутри интервала (-1, 1) аналогичны тригонометрич. рядам Фурье. А в окрестности концов отрезка ортогональности свойства рядов Фурье Якоби иные, ибо в точках ортонормированные Я. м. возрастают неограниченно. Равномерная сходимость ряда Фурье Якоби на всем отрезке [-1, 1] имеет место, если функция f(x) непрерывно дифференцируема рраз на этом отрезке и причем

где

При этих условиях выполняется неравенство

где постоянная с 2 не зависит от пи х. С другой стороны, для остатка ряда Фурье Якоби при и справедлива весовая оценка

где постоянная с 3 не зависит от пи х,a En(f) - наилучшее равномерное приближение непрерывной функции f(x)на отрезке [-1, 1] многочленами порядка не выше п.

Я. м. были введены К. Якоби [1] в связи с решением гипергеометрич. уравнения. Частными случаями Я. м. являются Лежандра многочлены (при Чебышева многочлены1-го рода (при Чебышева многочлены 2-го рола (при улътрасферические многочлены (при

См. также ст. Классические ортогональные многочлены.

Лит.:[1] Jасоbi С., лJ. reine und angew. Math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985