Математическая энциклопедия - асимптотическая линия

линия Г на регулярной поверхности F, нормальная кривизна к-рой вдоль Г равна нулю; А. л. определяется дифференциальным уравнением:

где II вторая квадратичная форма поверхности.

Соприкасающаяся плоскость А. л. Г (там, где она существует) совпадает с касательной плоскостью к F(в точках Г); при этом квадрат кручения А. л. равен модулю гауссовой кривизны Кповерхности F (теорема БельтрамиЭннепера). Прямолинейный отрезок (напр., отрезок образующей линейчатой поверхности) всегда является А. л. Если Г параболич. кривая (напр., параллель тора, разделяющая области с гауссовой кривизной разных знаков), то она будет А. л. Другим примером является ребро возврата на псевдосфере. Непараболич. кривая, па к-рой , представляет собой ребро возврата семейства А. л.

Через каждую точку параболич. области (где , но ) проходит единственная А. л., совпадающая с прямолинейной образующей. Через каждую точку гиперболич. области (где ) проходят две и только две А. л., составляющие так наз. асимптотическую сеть, играющую важную роль в исследовании пространственной формы отрицательной кривизны поверхностей. Так, напр., на полной поверхности эта сеть гомеоморфна декартовой сети на плоскости, если

На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотич. сеть является чебышевской сетью, причем площадь Sчетырехугольника, образованного А. л., пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над

(формула Хаццидакиса).

При проективном преобразовании я пространства А. л. поверхности Fпереходят в А. л. преобразованной поверхности .

Аналогично определяются А. л. и на поверхностях трехмерного риманова пространства. Известны различные пути обобщений понятия А. л. на многообразиях, погруженных в многомерное пространство; наиболее употребительное из них использует понятие второй квадратичной формы, ассоциированной с определенным нормальным вектором.

Лит.:[1] Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; [2] Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956.

М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985