Математическая энциклопедия - автоматического управления теория

наука о методах определения законов управления к.-л. объектами, допускающих реализацию с помощью тех-нич. средств автоматики. Исторически сложилось так, что методы А. у. т. получили свое первое развитие применительно к процессам, встречающимся главным образом в технике (см. [1]). Напр., летящий самолет представляет собой объект, законы управления к-рым гарантируют его полет по требуемой траектории. Они реализуются с помощью совокупности измерительных приборов, преобразующих и исполнительных устройств, называемой автопилотом. Три причины лежат в основе этого развития: многие объекты управления были идентифицированы классиками науки (идентифицировать объект управления значит написать его математич. модель, т. е. соотношения (1), (2), см. ниже); еще задолго до развития А. у. т., благодаря установлению ряда фундаментальных законов природы, существовал хорошо развитый математич. аппарат дифференциальных уравнений и особенно аппарат теории устойчивости движения (см. [2]); инженеры открыли закон обратной связи (см. ниже) и нашли средства его реализации.

Простейшие объекты управления описываются (векторным) обыкновенным дифференциальным уравнением

и неравенством

где вектор состояния объекта, вектор управления, к-рый можно выбирать, время. Уравнение (1) есть математич. запись законов, к-рым подчинен объект управления; неравенство (2) область его определения.

Пусть есть к.-л. данный класс функций (напр., кусочно непрерывных), принимающих численное значение из (2). Любую функцию назовем допустимым управлением. Уравнение (1) наз. математической моделью объекта управления, если:

1) указана область определения функции

2) указан интервал времени (или если ), на к-ром наблюдается движение x(t).

3) указан класс допустимых управлений;

4) область и функция таковы, что уравнение (1) имеет единственное решение, определенное при любом каково бы ни было допустимое управление u(t). Далее всюду в (1) предполагается гладкой по всем аргументам.

Пусть начальное, а конечное состояния объекта управления. Состояние наз. целью управления. Существуют две главные задачи А. у. т.: задача программирования определение управления при к-ром гарантируется достижение цели из определение закона обратной связи (см. ниже). Обе задачи разрешаются при условии полной управляемости объекта (1).

Объект (1) наз. полностью управляемым, если, каковы бы ни были найдутся хотя бы одно допустимое управление и интервал при к-рых цель управления достижима. В противном случае говорят, что объект управляем неполностью. Поэтому возникает задача предварительного исследования: дана математич. модель (1), требуется установить критерий управляемости. В разрешении этой задачи достигнут (к 1977) незначительный прогресс. В случае, когда уравнение (1) линейно:

где А, В - стационарные матрицы, критерий полной управляемости формулируется так: для того чтобы система (3) была полностью управляема, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы

был равен п. Матрица (4) наз. матрицей управляемости.

Если А, В - известные дифференцируемые функции от t, то матрица управляемости определяется так:

где

В этом случае имеет место теорема: для того чтобы система (3) была полностью управляема, достаточно, чтобы существовала хотя бы одна точка в к-рой ранг матрицы (5) равен п(см. [3]). Для нелинейных систем критерий управляемости пока (к 1977) не найден.

Первая главная задача А. у. т. заключается в выборе допустимого управления, при к-ром гарантируется достижение цели Она имеет два способа решения. Первый из них состоит в проявлении воли главного конструктора (ГК) объекта (1) назначение определенного вида движения, при к-ром цель xf достижима, и в подборе соответствующего управления. Такой способ решения задачи программирования применяется в практике во многих случаях. При другом способе ищется допустимое управление, минимизирующее заданную плату управления. Математич. формулировка задачи такова. Даны: математич. модель объекта управления (1), (2); граничные условия на вектор х, к-рые символически запишем в виде

гладкая функция и плата за принятое управление

Задача программирования: среди допустимых управлений требуется найти такое, при к-ром условия (6) выполняются, а функционал (7) принимает минимальное значение. Необходимые условия минимума этой неклассической вариационной задачи доставляются следующей теоремой, носящей название "принцип максимума Л. С. Понтрягина" (см. [4]). Введем в рассмотрение вспомогательный вектор и вспомогательную скалярную функцию

Функция Нпозволяет записать уравнение (1) и уравнение для вектора в следующей форме:

Уравнение (9) является линейным и однородным относительно имеет единственное непрерывное решение, определенное при любых начальных условиях и Вектор наз. нулевым, если хотя бы одна из его компонент не обращается тождественно в нуль при Справедлива теорема: для того чтобы кривая доставляла сильный минимум функционалу (7), необходимо существование ненулевого непрерывного вектора определенного уравнением (9), при к-ром функция достигает максимума по и и выполняется условие трансверсальности

Пусть решение, отвечающее задаче. Доказано, что в стационарной системе функция удовлетворяет условию

где С - постоянная, то есть (10) ее первый интеграл. Решение наз. программой управления.

Пусть есть к.-л. (необязательно оптимальная) программа управления. Оказывается, что знание лишь одной программы управления недостаточно для достижения цели. Дело в том, что программа как правило, неустойчива относительно любых сколь угодно малых изменений в задаче, в частности наиболее важных изменений начальных значений или, иными словами, эта задача некорректна. Особенность некорректности, однако, заключается в том, что она может быть исправлена средствами автоматич. стабилизации, основанными только лишь на использовании "принципа обратной связи". В связи с этим возникает другая главная задача управления задача определения закона обратной связи.

Пусть увектор возмущенного движения системы, а вектор, характеризующий дополнительное отклонение органа управления, предназначенное для гашения возмущенного движения. Для реализации отклонения x должен быть заранее предусмотрен соответствующий ресурс управления. Возмущенное движение будет описываться уравнением

Здесь: А, В - известные матрицы, определенные на движении и суть известные функции времени; нелинейные члены разложения функции постоянно действующая возмущающая сила, происходящая либо от того, что программное движение не определено точно, либо от того, что при построении модели (1) не были учтены к.-л. дополнительные силы. Уравнение (11) определено в окрестности где вообще говоря, достаточно малое, а в нек-рых случаях любое конечное положительное число или даже .

Заметим, что полная управляемость системы (1), вообще говоря, не гарантирует полной управляемости системы (11).

Будем говорить, что объект управления (11) наблюдаем по координатам если существует набор готовых к действию измерительных приборов,

способных непрерывно производить измерения координат в любой момент времени Значение этого определения может быть проиллюстрировано примером управления продольным движением самолета. Хотя авиация существует более 50 лет, до сих пор нет прибора, измеряющего возмущение угла атаки крыла самолета или высоту его полета вблизи земли. Совокупность измеряемых координат назовем полем регулирования и обозначим через

Рассмотрим совокупность допустимых управлений , определенных над полем Р:

где векторный или матричный параметр. Будем говорить, что управление (12) представляет собой закон обратной связи, если операция замыкания [т. е. подстановка (12) в уравнение (11)] дает систему

невозмущенное движение к-рой у = 0асимптотически устойчиво (см. Асимптотически устойчивое решение). Система (13) наз. асимптотически устойчивой, если ее невозмущенное движение y= 0 асимптотически устойчиво.

Существует два класса задач, к-рые могут быть сформулированы относительно замкнутой системы (13): класс задач анализа и класс задач синтеза.

Рассмотрим допустимое управление (12), заданное c точностью до выбора параметра р, напр.

Задача анализа: требуется определить область Sзначений параметра р, для к-рых замкнутая система (13) асимптотически устойчива. Построение области Sосуществляется на основании методов, разработанных в теории устойчивости движения (см. Устойчивости теория).и нашедших широкое применение в А. у. т. В частности, отметим методы частотного анализа; методы, основанные: на Ляпунова теории устойчивости по первому приближению (теоремы Гурвица, Рауса и др.), на прямом методе Ляпунова построения v-функций, на теории Ляпунова Пуанкаре построения периодич. решений, на методе гармонич. баланса, методе Б. В. Булгакова, методе А. А. Андронова, теории точечного преобразования поверхностей (см. [5]). Последняя группа методов дает возможность не только строить в пространстве Робласти S, но также проанализировать параметры устойчивых периодич. решений уравнения (13), характеризующих автоколебательные движения системы (13). Все эти методы получили широкое применение в практике автоматич. управления, и их изучают в рамках различных специальностей в высшей школе (см. [5]).

Если Sне пусто, то управление (12) наз. законом обратной связи, или законом регулирования. Его реализация, осуществленная с помощью совокупности измерительных приборов, усилителей, преобразователей и исполнительных устройств, наз. регулятором.

С задачей анализа тесно связана другая весьма важная для практики задача о построении границ области притяжения (см. [6], [7]). Рассмотрим систему (13), в к-рой Множество значений содержащее точку для к-рых замкнутая система (13) сохраняет свойство асимптотич. устойчивости, наз. областью притяжения тривиального решения y = 0. Задача состоит в том, чтобы для данной замкнутой системы (13) и точки определить границы области притяжения.

Современная научная литература не содержит эффективных методов построения границ области притяжения, за исключением редких случаев, в к-рых удается построить неустойчивые периодич. решения замкнутых систем. Однако имеются нек-рые методы, позволяющие построить границы множества значений целиком содержащегося в области притяжения. В большинстве случаев эти методы основаны на оценке области фазового пространства, в к-ром Ляпунова функция удовлетворяет условию

Любое решение замкнутой системы (13) представляет так наз. переходный процесс. В большинстве случаев практич. значения нельзя ограничиться решением лишь проблемы устойчивости. При разработке проекта предъявляются дополнительные, имеющие важное практич. значение, требования, при к-рых гарантируется наличие у переходного процесса нек-рых новых свойств. Характер требований и перечень свойств существенно связаны с физич. природой объекта управления. В задачах анализа обеспечение этих свойств переходного процесса, напр, заданного времени регулирования в ряде случаев может быть достигнуто за счет выбора параметра р. Задача выбора параметра рносит назв. проблемы качества регулирования (см. [5]), и методы решения этой проблемы связаны с тем или иным построением оценок решений либо фактич. интегрированием уравнения (13), либо нахождением оценки этих решений экспериментально, с помощью аналоговой или цифровой вычислительной машины.