Математическая энциклопедия - бесконечно малое изгибание

понятие, первоначально возникшее при описании деформации поверхности Fв трехмерном евклидовом пространстве, при к-рой изменение длин кривых на Fявляется величиной порядка малости меньшего, чем изменение пространственного расстояния между точками этих кривых. По существу же в теории Б. м. и. исследуются векторные поля и связанные с ними величины, определенные в точках Fи удовлетворяющие тем уравнениям, к-рые являются линеаризацией уравнений изгибания F.

Так, если радиус-вектор деформации поверхности , то Б. м. и. Fхарактеризуется (начальной) скоростью деформации вектором

к-рый удовлетворяет уравнению

или

где радиус-вектор . Вектор , наз. также полем скоростей Б. м. и., или изгибающим полем. Однозначно определяется вектор утакой, что множество точек пространства, описываемое радиус-вектором у, наз. диаграммой вращения Б. м. и. См. также Дарбу поверхности.

В более общей ситуации Б. м. и. многообразия , расположенного в римановом пространстве , представляет собой изометрич. вариацию вложения : , т. е. такое векторное поле вдоль вложения

где касательное расслоение к , к-рое удовлетворяет на уравнению

здесь векторные поля, касательные к вложению, метрическая форма ковариантная произвольная относительно Леви-Чи-вита связности на , соответствующей . Поле однозначно определяет поле кососимметрических тензоров типа (1,1) вдоль вложения: удовлетворяющее уравнению

где оператор римановой кривизны .

Если индуцируется Киллинга вектором т. е. то соответствующее Б. м. и. (а также и Само Z).наз. тривиальным. Если допускает только тривиальные Б. м. и., то оно наз. жестким. См. Жесткость.

При геодезическом отображении Б. м. и. с вектором однозначно соответствует Б.