Математическая энциклопедия - бесселя функции

цилиндрические функции1-го рода. Б. ф. .индекса рможет быть определена рядом

сходящемся на всей плоскости. Б. ф. индекса рявляется решением соответствующего Бесселя уравнения.

При действительных положительных значениях аргумента и индекса (действительное число) Б. ф. действительна, график ее имеет вид затухающего колебания (см. рис.); при четном индексе Б. ф. четна, при нечетном нечетна. Поведение Б. ф. в окрестности нуля дается первыми слагаемыми ряда (*); при больших хсправедливо асимптотич. представление

Нули Б. ф. [корни уравнения ] простые, при этом нули лежат между нулями . Б. ф. "полуцелого" порядка выражаются через тригонометрич. функции; в частности,

Б. ф. положительные нули образуют ортогональную с весом хв промежутке систему. При определенных условиях имеет место разложение

В бесконечном промежутке его заменяет интеграл Фурье-Бесселя

Важную роль в теории Б. ф. и их применений играют: 1) интегральное представление

2) производящая функция

3) теорема сложения для Б. ф. нулевого индекса

4) рекуррентные формулы

Лит. ем. при статье Цилиндрические функции.

П. И. Лизоркин.

BETA-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ непрерывное сосредоточенное на (0, 1) распределение вероятностей с плотностью

где параметры неотрицательны и нормирующий множитель есть бета-функция Эйлера

(- гамма-функция). Функция распределения выражается через неполную бета-функцию

(эта функция табулирована, см. [1], [2] ). Моменты Б.-р. выражаются формулой

в частности, математич. ожидание и дисперсия равны и соответственно. Если то кривая плотности имеет единственную точку максимума и обращается в нуль на концах интервала. Если или , то одна из крайних ординат графика бесконечна, а если и , и , то обе ординаты на концах интервала бесконечны и кривая имеет -образную форму. При Б.-р. превращается в равномерное распределение в интервале . Другим частным случаем Б.-р. является так наз. арксинуса распределение

При замене в (1) получается распределение с плотностью