Математическая энциклопедия - бесселя уравнение

линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

илц в самосопряженной форме:

Число v наз. индексом Б. у.; величины в общем случае могут принимать комплексные значения. После подстановки получается приведенная форма уравнения (1):

Б. у. представляет собой частный случай вырожденного гипергеометрического уравнения;уравнение (2) подстановкой приводится к Уиттекера уравнению. Точка является для уравнения (1) слабо особой, а точка -сильно особой, и поэтому Б. у. не принадлежит классу Фукса уравнений. Первым систематическое изучение решений уравнения (1) предпринял Ф. Бессель [1], но еще раньше они встречались в работах Д. Бернулли (D. Bernoulli), Л. Эйлера (L. Euler), Ж. Лагранжа (J. Lagrange).

Б. у. возникает при разделении переменных во многих задачах математич. физики (см. [2]), в частности в краевых задачах теории потенциала для цилиндрич. области.

Решения Б. у. наз. цилиндрическими функциями (или бесселевыми функциями). Среди них выделяют цилиндрич. функции 1-го рода (Бесселя функции) , цилиндрич. функции 2-го рода ( Вебера функции, или Неймана функции) , цилиндрич. функции 3-го рода ( Ганкеля функции) Если индекс фиксирован, то все эти функции аналитич. функции комплексного аргумента ; для всех этих функций, за исключением функций целого индекса, точка является ветвления точкой. Если же фиксирован аргумент ,

то все эти функции являются однозначными целыми функциями комплексного индекса (см. [3]).

Если индекс не равен целому числу, то общее решение уравнения (1) можно записать в виде

где произвольные постоянные. При произвольном индексе любые две из функций линейно независимы и могут служить фундаментальной системой решений уравнения (1). Поэтому общее решение уравнения (1) представляется, в частности, в следующих формах:

С уравнением (1) тесно связаны: уравнение

переходящее в (1) при подстановке и имеющее своей фундаментальной системой решений модифицированные цилиндрические функции (бесселевы функции мнимого аргумента), и уравнение

переходящее в (1) при подстановке и имеющее своей фундаментальной системой решений Кельвина функции. Многие другие линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка (напр., Эйри уравнение]преобразованием неизвестной функции и независимой переменной также приводятся к уравнению (1); решение ряда линейных уравнений высших порядков удается записать через бесселевы функции (см. [4]). Подстановка приводит уравнение (1) к Лапласа уравнению:

это позволяет представлять решения уравнения (1) через контурные интегралы на комплексной плоскости.

В приложениях часто возникают задачи на собственные значения для уравнения