Математическая энциклопедия - бордизм

бордантность,термин, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах (почти во всех из них вместо Б. раньше говорили о кобордизмах; старая терминология тоже сохранилась) .

Простейший вариант: два гладких замкнутых п- мерных многообразия бордантны (с о-ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное -мерное многообразие W("пленка"), край к-рого состоит из двух многообразий диффеоморфных, соответственно, посредством нек-рых диффеоморфизмов

Совокупность многообразий, бордантных друг другу, наз. классами бордизмов, а тройку иногда наз. бордизмом [точнее было бы говорить о пятерке ]. Множество классов Б. n-мерных многообразий образует абелеву группу относительно несвязного объединения. Нулем в ней служит класс Б., состоящих из многообразий М, к-рые являются границей нек-рого многообразия W[формально говорят о тройке с пустым М 0; другие названия: М - ограничивающее многообразие, М - внутренне гомологично, или бордантно нулю]. Элементом обратным данному классу В., является сам этот класс (т. к. диффеоморфно границе прямого произведения ). Прямая сумма групп является коммутативным градуированным кольцом, умножение в к-ром индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом Б. точки.

Более сложные варианты Б. гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Напр., два ориентированных многообразия М 0 и Мориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причем "пленка" Wориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией Wна Na и N(как на частях края), переходит при диффеоморфизмах g0 и g, соответственно, в исходную ориентацию М и в ориентацию, противоположную исходной ориентации М 0. В этом случае говорят об ориентированных бордизм ах, а если надо подчеркнуть отличие от них Б. в предыдущем смысле, последние наз. неориентированными. Аналогично вводятся группы ориентированных Б. Wn и кольцо W* = еWn.

Исторически первый пример Б. оснащенных многообразий, введенный в 1938 Л. С. Понтрягииым, к-рый показал, что классификация этих Б. эквивалентна вычислению гомотопич. групп сфер и таким путем смог найти (подробное изложение его исследований см. в более поздней публикации [2], элементарное введение в [4]). Неориентированные и ориентированные Б. были введены в 1951 53 В. А. Рохлиным (см. [3]), вычислившим и .для Ранее Л. С. Понтрягин [1] доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристич. числа (числа Штифеля Уитни в неориентируемом случае, числа Штифеля Уитни и числа Понтрягина в ориентируемом). (Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.)

Использование в теории Б. современных методов алгебраич. топологии началось с вышедшей в 1954 работы Р. Тома (см. [5], [6]), переоткрывшего применительно к неориентированным и ориентированным Б. связь между Б. и нек-рыми гомотопич. задачами. Так, группа изоморфна группе с достаточно большим r; здесь Тома пространство универсального векторного расслоения со структурной группой . Эта связь позволила Р. Тому полностью вычислить кольцо и существенно продвинуть изучение , впоследствии завершенное другими учеными. Напр., оказалось кольцом многочленов над полем вычетов mod 2 от образующих размерности , где пробегает все положительные числа, не равные ; известна геометрич. реализация этих образующих (т. е. указаны конкретные многообразия, классы Б. к-рых суть (см. [7]).

Другие варианты Б. многообразия с дополнительной структурой очень важные Б. квазикомплексных многообразий (наз. также унитарными Б.) (см. [8], [9]), Б. многообразий, на к-рых действует группа преобразований (см. [10]); имеются также варианты несколько иного рода (для кусочно линейных или топо-логич. многообразий, для комплексов Пуанкаре) и т. д. (см. [11]). Особое положение занимают бордизмы слоений и -бордизмы (ранее наз. -эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и, гомотопич. топологии [12].