Математическая энциклопедия - бореля подгруппа

борелевская подгруппа,максимальная связная разрешимая ал-гебраич. подгруппа линейной алгебраической группы G. Напр., подгруппа всех невырожденных верхних треугольных матриц является Б. п. в полной линейной группе GL(n). Систематич. исследование максимальных связных разрешимых подгрупп алгебраич. групп впервые проведено А. Борелем [1]. Б. п. может быть эквивалентным образом определена как минимальный элемент множества параболических подгрупп, т. е. таких алгебраич. подгрупп H группы G, для к-рых фактормногообразие G/H проективно. Все Б. п. группы Gсопряжены, причем, если Б. п. B1 , В2. и группа G определены над полем k, то B1. и В2 сопряжены посредством элемента из Gk . Пересечение любых двух Б. п. группы G содержит максимальный тор группы G; если это пересечение есть в точности максимальный тор, то такие Б. п. наз. противоположными. Противоположные Б. п. существуют в G тогда и только тогда, когда G редуктивная группа. Если G связна, то объединение всех ее Б. п. совпадает с ней самой и всякая параболич. подгруппа совпадает со своим нормализатором в G. В этом случае Б. п. является максимальной среди всех (а не только алгебраических и связных) разрешимых подгрупп группы G. Однако, вообще говоря, могут существовать максимальные разрешимые подгруппы в G, не являющиеся Б. п. Коммутант Б. п. Всовпадает с ее унипотентной частью В и , а нормализатор В и в G совпадает с В. Если характеристика основного поля равна 0, а есть алгебра Ли группы G, то подалгебра алгебры , являющаяся алгеброй Ли Б. п. Вгруппы. G часто наз. Бореля подалгеброй (или боpелевской подалгеброй) в . Подалгебры Бореля в алгебре это в точности ее мак-сималйные разрешимые подалгебры. Для k-определен-ной алгебраич. группы G над произвольным полем kобобщением Б: п. над k являются минимальные параболич. k-определенные подгруппы, к-рые сопряжены посредством элементов из (см. [2]).

Лит.:[1] Воrе1 A., "Ann. Math.", 1956, v. 64, № 1, p. 2082; [2] Борель А., Тите Ж., "Математика", 1967, т. 11, Ml, с. 43 -111. В. П. Платонов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985