Математическая энциклопедия - частотная теорема

теорема, формулирующая условия разрешимости уравнений Лурье

где заданные матрицы размеров соответственно, Н=Н*, h - искомые матрицы размера nX . и . Х т. Уравнения Лурье имеют две другие эквивалентные формы: при

где и в общем случае

где заданная эрмитова форма векторов

При этом

Если пара { Р, q}управляема, то уравнения Лурье сводятся к случаю, когда

При m = 1 и когда все матрицы действительны, в скалярной записи уравнения Лурье приобретают вид

здесь h=[h1, ... , hn]искомый вектор.

Пусть пара { Р, q}стабилизируема, т. е. существует rтакое, что R = P+qr* - матрица Гурвица.

Частотная теорема утверждает: для разрешимости уравнений Лурье необходимо и достаточно, чтобы

для всех (I-единичная матрица). Ч. т. также формулирует процедуру определения матриц H, h и утверждает, что при

существуют такие (единственные) матрицы H, h, чтокроме (3) выполнено: есть матрица Гурвица (см. [3]).

Уравнение Лурье в форме (2) иногда наз. также матричным алгебраическим уравнением Риккати. Ч. т. используется при решении задач абсолютной устойчивости [2, 4, 5], управления и адаптации (см., напр., [6]).

Лит.:[1] Лурье А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования, М.Л., 1951; [2] Попов В. М., Гиперустойчивость автоматических систем, пер. с рум., М., 1970; [3] Якубович В. А., лСиб. матем. ж.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985