Математическая энциклопедия - частичная проблема

собственных значений задача вычисления одного или нескольких собственных значений квадратной матрицы, обычно действительной или комплексной, а также соответствующих им собственных векторов.

Чаще всего в практике встречаются следующие варианты Ч. п. собственных значений: 1) найти группу наименьших (наибольших) по абсолютной величине собственных значений; 2) найти группу собственных значений, ближайших к заданному числу a; 3) найти точки спектра, принадлежащие заданному интервалу (для симметричной или эрмитовой матрицы).

Большинство методов решения Ч. п. собственных значений для матриц общего вида имеет в основе идею степенной итерации или ее разновидностьобратную итерацию (см. Итерационные методы решения проблемы собственных значений матрицы): если матрица Аобладает доминирующим по абсолютной величине собственным значением и соответствующий собственный вектор, то для почти любого вектора . последовательность v, Аv, А²v, ... , A^kv, ... сходится по направлению к вектору xmax. Если требуется наименьшее по абсолютной величине собственное значение (задача 2)), то степенная итерация проводится с матрицей А~¹ (метод обратной итерации); при вычислении собственного значения, ближайшего к а(задача 3)),с матрицей ( А-а)^-1 (метод обратной итерации со сдвигом).

Наиболее важный частный случай Ч. п. собственных значений вычисление собственных значений и собственных векторов действительной симметричной либо комплексной эрмитовой матрицы А. З десь имеется ряд эффективных численных методов решения Ч. п. собственных значений, основанных на весьма различных идеях (см. [1]). Среди них: методы, использующие экстремальные свойства функционала Рэлея (наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы Ареализуют соответственно максимум и минимум отношения Рэлея достигаются эти экстремумы на соответствующих собственных векторах); методы, использующие закон инерции Сильвестра (метод последовательности Штурма и, более общо, методы деления спектра); наконец, методы, базирующиеся на аппроксимационных свойствах крыловских подпространств, т. е. линейных оболочек систем вида v, Av, ..., A^k-lv (метод Ланцоша и его варианты). Выбор того или иного метода определяется такими соображениями, как порядок задачи, степень разреженности матрицы, наличие ленточной структуры, доступная информация о спектре и т. д.

Методы решения Ч. п. собственных значений как в общем, так и в эрмитовом случае можно разделить на групповые и последовательные. Групповые методы характеризуются тем, что в них нужные собственные значения (и соответствующие собственные векторы) вычисляются в известной мере параллельно. Сюда относятся многочисленные методы одновременных итераций, метод Ланцоша, методы деления спектра.

В последовательных методах собственные значения определяются поочередно. При этом, начиная со второго собственного значения, возникает необходимость воспрепятствовать тому, чтобы итерации сходились к ранее найденным корням. С этой необходимостью связаны различные приемы исчерпывания (или дефляции) [2]. В одних случаях исчерпывание приводит к построению матрицы у к-рой вычисленным собственным значениям Асоответствуют нулевые корни; в остальном спектр обеих матриц совпадает, совпадают и их собственные векторы. В других случаях результатом исчерпывания является расщепление матрицы, вследствие чего последовательные собственные значения можно определить, пользуясь матрицами убывающих порядков. В третьих итерации метода с неизменной матрицей Асопровождаются ортогонализацией по отношению к прежде вычисленным собственным векторам. Приемы исчерпывания могут использоваться и групповыми методами.

Лит.:[1] Парлетт Б., Симметричная проблема собственных значений. Численные методы, пер. с англ., М., 1983; [2] Уилкинсон Дж., Алгебраическая проблема собственных значений, пер. с англ., М., 1970.

X. Д. Икрамов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985