Математическая энциклопедия - частично упорядоченная группа

группа G, на к-рой задано отношение частичного порядка такое, что для любых а, b, х, у из G неравенство влечет за собой

Множество Ч. у. г., называемое положительным конусом, или целой частью, группы G, обладает свойствами: 1) 2) 3) для любых Всякое подмножество Ргруппы G, удовлетворяющее условиям 1) 3), задает на Gчастичный порядок тогда и только тогда, когда для к-рого Рслужит положительным конусом.

Примеры Ч. у. г.: аддитивная гpyппa действительных чисел с обычным порядком; группа функций, заданных на произвольном множестве Xсо значениями в с операцией (f+g)(x) = f(x) + g(x)и отношением порядка если для всех группа (М)всех автоморфизмов линейно упорядоченного множества Мна себя, относительно суперпозиции отображений и с отношением порядка: если для любого

Основными понятиями теории Ч. у. г. являются понятия порядкового гомоморфизма (см. Упорядоченная группа), выпуклой подгруппы, декартова и лексикографич. произведений.

Важнейшие классы Ч. у. г.: линейно упорядоченные группы, структурно упорядоченные группы.

Лит.:[1] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952: [2] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.

В. М. Копытов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985