Математическая энциклопедия - эллиптическая функция

в собственном смысле двоякопериодическая функция, мероморфная в конечной плоскости комплексного переменного г. Э. ф. обладают следующими основными свойствами.

Не существует целых Э. ф., кроме констант (теорема Лиувилля).

Пусть примитивные периоды Э. ф. f(z), Сумма вычетов всех полюсов f(z) в ее параллелограмме периодов

равна нулю.

Пусть r число полюсов (с учетом их кратности) Э. ф. f(z) в параллелограмме периодов Тогда f(z) принимает в каждое конечное значение с учетом кратности в точности rраз. Число r наз. порядком Э. ф. Не существует Э. ф., порядок к-рых меньше 2.

Если ai и bi, i=l, . . ., r,все нули и полюсы Э. ф. f(z) в ее параллелограмме периодов с учетом их кратности, то сумма

сравнима с нулем по модулю периодов, т. е.

где m1, т 3 - целые числа (частный случай теоремы Абеля, см. Абелева функция).

Все Э. ф. с фиксированными примитивными периодами образуют алгебраич. поле Э. ф. с двумя образующими. В качестве этих образующих можно взять, напр., функцию Вейерштрасса и ее производную (см. Вейерштрасса эллиптические функции).

Производная Э. ф. является в свою очередь Э. ф. того же порядка с теми же периодами. Каждая Э. ф. удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Каждая Э. ф. f(z) допускает алгебраическую теорему сложения, т. е. значения f(z1), f(z2), f(z1+z2) связаны неприводимым алгебраич. уравнением с постоянными коэффициентами. Обратно, имеет место теорема Beйерштрасса: всякая аналитич. ция f(z), допускающая алгебраич. теорему сложения, либо является рациональной функцией от г или от е ^z, либо есть Э. ф.

Иногда применяется более общая терминология, связанная с теорией тета-функций. Э. ф. III рода наз. всякая мероморфная функция f(z), удовлетворяющая функциональному уравнению

где а i, bi - нек-рые постоянные. Если a1=a3=0, то f(z) наз. Э. ф. II рода. Если а 1=a3=b1=b3=0, то f(z) наа. Э. ф. I рода, или Э. ф. в собственном смысле. По атой терминологии тета-функций Якоби (см. Якоби эллиптические функции )и сигма-функции Вейерштрасса (см. Вейерштрасса эллиптические функции) суть Э. ф. III рода.

Впервые эллиптические интегралы исследовались в работах ученых кон. 17 нач. 19 вв. Я. Бернулли (J.Bernoulli), И. Вернулли (J. Bernoulli), Дж. К. Фаньяно деи Тоски (G. С. Fagnano dei Toschi), Л. Эйлера (L. Euler), А. Лежандра (A. Legendre) конца 17-начала 19 вв. Эти интегралы появились в задачах вычисления длины дуги эллипса и других кривых 2-го порядка. Они имеют вид где R - рациональная функция от переменных z и w, связанных алгебраич. уравнением

в к-ром справа стоит многочлен 4-й или 3-й степени без кратных корней. Подынтегральная функция однозначна на двулистной компактной римановой поверхности Fрода g=l с четырьмя точками ветвления. Дифференциалы I, II и III рода на F(см. Дифференциал на римановой поверхности )порождают соответственно эллиптич. интегралы I, II и III рода. Интеграл I рода является главной униформизирующей поверхности . и поля алгебраич. функций, порождаемых F. Если принять его за независимую переменную, то это поле переходит в поле Э. ф.

Идея непосредственного обращения эллиптич. интегралов в нормальной форме Лежандра возникла и была развита в работах Н. Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С. Jacobi) в нач. 19 в. Развитое К. Якоби построение Э. ф. на основе тета-функций имеет основное значение для приложений Э. ф. Теоретически более простое построение поля Э. ф., при к-ром в качестве образующих берутся функция и ее производная, было дано К. Вейерштрассом (К. Weierstrass) в 70-х гг. 19 в.

При развитии теории Э. ф. одной из основных является проблема преобразования Э. ф. и связанных с ними величин при переходе от примитивных периодов к другим примитивным периодам связанным соотношениями

где целые числа такие, что натуральное число, называемое порядком преобразования. Площадь параллелограмма периодов в праз больше площади параллелограмма периодов При п=1 получаются преобразования модулярной группы, откуда возникла связанная с Э. ф. теория модулярных функций.

Э. ф. можно трактовать как мероморфные функции, инвариантные относительно преобразований группы сдвигов

комплексной плоскости. Обобщение этого подхода привело к рассмотрению автоморфных функций, инвариантных относительно дробно-линейных отображений, составляющих группы более общей природы. Э. ф. и модулярные функции суть частные случаи автоморфных функций.

Обращение эллиптич. интегралов сразу же привело к Якоби проблеме обращения более общих абелевых интегралов где переменные z и w связаны произвольным алгебраич. уравнением. На этом пути получаются абелевы функцииобобщение Э. ф. на случай нескольких комплексных переменных.

Э. ф. и эллиптич. интегралы находят многочисленные применения (как специальные функции) во многих разделах анализа, как средство униформизации в алгебраич. геометрии, а также в механике, электродинамике и других прикладных областях.

Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970: [2] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., ч. 2, М., 1968; [3] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; [4] Журавский А. М., Справочник по эллиптическим функциям, М.Л., 1941; [5] Кnneper A., Elliptische Functionen. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Halle, 1890; [6] Тannery J., Molk J., Elements de la theories desfonctions elliptiques, t. 1-4, P., 18931902.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985