Математическая энциклопедия - эллиптическая поверхность

алгебраическая или аналитическая полная неособая поверхность X, у к-рой имеется пучок эллиптических кривых, т. е. морфизм на неособую кривую В, общий слой к-рого неособая эллиптич. кривая. Всякая Э. п. бирационально (бимероморфно) эквивалентна над Воднозначно определенной минимальной модели, к-рая характеризуется тем, что слои морфизма не содержат исключительных кривых 1-го рода. Далее Э. п. будет предполагаться минимальной. Минимальные Э. п. устроены более сложно, чем линейчатые поверхности. Они могут иметь особые слои (т. е. слои, не являющиеся неособыми эллиптич. кривыми). Имеется классификация [3] особых слоев Э. п. Особый слой наз. кратным, если НОД тогда Xt=mF и тназ. кратностью сл о я Xt.

На минимальной Э. п. канонич. класс К X содержит дивизор, являющийся рациональной комбинацией слоев, в частности Более точно, имеет место следующая формула для канонич. класса (см. [1], [4]):

где все кратные слои морфизма a d - дивизор на Встепени Для эйлеровой топологич. характеристики имеет место формула

Классификация эллиптич. пучков. Пучок можно рассматривать как эллиптич. кривую над полем функций k(B). Эта кривая, вообще говоря, не имеет структуры абелева многообразия над k(В). Для выполнения последнего необходимо, чтобы она имела рациональную точку над k(B)(и тогда Х бирационально изоморфна поверхности, определяемой в уравнением Вейерштрасса y²=x³-g2x-g3, где Задание рациональной точки эквивалентно заданию сечения такого, что необходимым условием существования сечения является отсутствие кратных слоев. Пучки без кратных слоев наз. приведенными. Любой пучок после подходящего разветвленного накрытия базы имеет сечение (т. е. приведен) [3]. Любой пучок можно сделать приведенным также последовательностью преобразований, обратных к логарифмическим [4],локальных перестроек пучка в окрестностях слоев.

Приведенные эллиптич. пучки описываются следующим образом. Каждому такому пучку соответствует единственный пучок к-рый является групповым объектом и такой, что Х/В является главным однородным пространством над Пучок наз. якобиевым пучком для Х/В, он характеризуется наличием сечения. Для заданного якобиева пучка множество классов изоморфных пучков X/В, для к-ры х имеет когомологич. описание, аналогичное описанию обратимых пучков. При этом роль пучка играет пучок локальных сечений Имеется естественное взаимно однозначное соответствие

при к-ром якобиеву пучку соответствует нулевой элемент. С помощью можно различать алгебраич. и неалгебраич. пучки: для приведенного пучка поверхность А алгебраическая тогда и только тогда, когда соответствующий ему элемент в имеет конечный порядок. Аналогию с обратимыми пучками можно продолжить дальше. Аналогом точной последовательности

является точная последовательность

где -пучок локальных сечений расслоения а касательное пространство к слою в точке е(b). Граничный гомоморфизм

позволяет узнать, когда один пучок является деформацией другого. Для этого необходимо и достаточно, чтобы соответствующие этим пучкам элементы имели один и тот же обраа относительно (см. [4]).

Классификация алгебраич. Э. п. Пусть chark=0. Для Э. п. Xканонич. размерность т. е. равна -1, 0 или 1. Э. п. с k(X)=1 наз. Э. п. основного типа. Они характеризуются условием: и Э. п. с или, более общо, с при нек-ром тявляются Э. п. основного типа.

Э. п. с k(X)=0 характеризуются условием. 12KX=0. В ятом случае может принимать три значения: 2,1, 0. Если то Xесть эллиптич. КЗ-поверхность (q=0, KX=0). В ятом случае Визоморфна проективной прямой Р ¹, пучок не имеет кратных слоев и X имеет инварианты pg=1, q=0, b2=22. Если то Xесть поверхность Энриквесa, т. е. поверхность с pg=q=0,2KX=0 (всякая поверхность Энриквеса является эллиптической). В этом случае пучок имеет два кратных слоя кратности 2 и X имеет инварианты pg=q=0, b2=10. Если то возможны два случая. Либо X - абелево многообразие (тогда pg=1, q=2, b2=0). Либо Xгинерэллиптич. поверхность, т. е. поверхность, у к-рой имеется конечное неразветвленное накрытие произведение двух эллиптич. кривых. В этом случае pg=0, b1=2, b2=2, B=P^l и имеет три или четыре кратных слоя, для кратностей к-рых имеется четыре возможности: (3, 3, 3), (2, 4, 4), (2, 3, 6), (2, 2, 2, 2) и соответственно 3KX=0,4KX= 0,6KX=0 и 2KX=0.

Э. п. с k(Х)=-1 являются линейчатыми поверхностями. Они характеризуются условием Здесь возможны два случая: 1) X - поверхность с pg=q=0, b2=10 и не имеет кратных слоев либо имеет один кратный слой; причем поверхности без кратных слоев получаются следующим образом: нужно взять рациональное отображение определяемое двумя кубиками F0=0 и F1=0, и раздуть их 9 точек пересечения. 2) X поверхность с pg=0, q=1, b2=2, а кратности mi удовлетворяют неравенству

Формула для канонич. класса и классификация Э. п. обобщены также на случай конечной характеристики поля (см. [51, [6]).

Классификация неалгебраич. Э. п. Для неалгебраич. поверхностей алгебраич. размерность a(X)=trdeg М(X)=1 или 0. Если а(Х)=0,то поверхность Xнеэллиптическая. Все поверхности с a(Х)=1 эллиптические. При этом структура Э. п. определена почти канонически: любое такое расслоение обязательно является эллиптическим. Классификация по канонич. размерности точно такая, как и в случае алгебраич. Э. п.: и k(X)=1 (X - Э. п. основного типа)

Неалгебраич. 3. п, с k(X)=0 принадлежат одному из классов: 1) КЗ-поверхности b1=0, b2=22, X - односвязна). 2) Комплексные торы 3) Поверхности Кодаиры Поверхности Кодаиры являются расслоениями на эллиптич. кривые с эллиптич.

кривой в качестве базы, а с дифференцируемой точки зрения расслоениями на окружности над трехмерным тором. 4) Поверхности е Для них тKX=0 при т=2, 3, 4, 6 (аналогично гиперэллиптич. поверхностям). Они имеют поверхность Кодаиры в качестве конечного неразветвленного накрытия. В случаях 2), 3) и 4) универсальной накрывающей для Xявляется

Неалгебраич. Э. п. с k(X)=-1 являются поверхностями Хопфа, т. е.