Математическая энциклопедия - эллиптический интеграл

интеграл от алгебраической функцииIрода, т. е. интеграл вида

где R(z, w) рациональная функция от переменных z и w, связанных алгебраич. уравнением

в к-ром f(z) многочлен 3-й или 4-й степени без кратных корней. При этом обычно подразумевается, что интеграл (1) нельзя выразить через одни только элементарные функции. В том случае, когда такое выражение возможно, интеграл (1) наз. псевдоэллиптическим интегралом.

Название Э. и. связано с тем, что впервые они появились при спрямлении дуги эллипса и других кривых 2-го порядка в работах кон. 17 нач. 18 вв. Я. Бернулли (J. Bernoulli), И. Бернулли (J. Bernoulli), Дж. К. Фаньяно деи Тоски (G. С. Fagnano dei Toschi), Л. Эйлер (L. Euler) заложили основы теории Э. и. и эллиптических функций, возникающих при обращении эллиптических интегралов.

Уравнению (2) соответствует двулистная компактная риманова поверхность Fрода g=l, гомеоморфная тору, на к-рой z, w, а следовательно, и R (z,w). рассматриваемые как функции точки поверхности F, однозначны.

Интеграл (1) задается как интеграл от абелева дифференциала на F, взятый вдоль нек-рого спрямляемого пути L. Задание начальной z0 и конечной z1 точек этого пути L, вообще говоря, не вполне определяет значение Э. и. (1), или, иначе говоря, Э. и. (1) есть многозначная функция от z0 и z1.

Любой Э. и. можно выразить в виде суммы элементарных функций и линейной комбинации канонич. Э. и. I, II и III рода. Последние записываются, напр., следующим образом:

где с параметр Э. и. III рода.

Дифференциал I рода dz/w, соответствующий Э. и. I рода I1, всюду на римановой поверхности . конечен, дифференциалы II и III рода имеют соответственно особенность типа полюса с нулевым вычетом или простого полюса. Рассматриваемые как функции верхнего предела интегрирования при фиксированном нижнем пределе, все три Э. и. на Fмногозначны. Если же разрезать Fвдоль двух циклов базиса гомологии, то в получившейся односвязной области F* интегралы I1 и I2 будут однозначны, а интеграл I3 сохраняет еще логарифмич. многозначность, появляющуюся при обходе простого полюса. При переходе через разрез каждый интеграл изменяется на целое кратное соответствующего периода, или модуля периодичности, а I3 имеет еще, кроме того, третий логарифмический период 2pi. соответствующий обходу особой точки. Таким образом, вычисление интеграла типа (1) сводится к вычислению интеграла вдоль пути L*, соединяющего на F* точки z0 и z1, и прибавлению соответствующей линейной комбинации периодов.

Подвергая переменное z нек-рым преобразованиям, можно привести функцию wиосновные Э. и. к нормальным формам.

В нормальной форме Вейерштрасса выполняется соотношение и интеграл имеет периоды Обращение этого Э. и. дает эллиптич. функцию Вейерштрасса с периодами и инвариантами g2, g3 (см. Вейерштрасса эллиптические функции). Вычисление периодов по заданным инвариантам производится при помощи модулярной функции Если в нормальном интеграле II рода

принять нормальный интеграл I рода . в качестве переменной интегрирования, то при надлежащем выборе постоянной интегрирования будет выполняться равенство

где дзета-функция Вейерштрасса. При этом периоды нормального интеграла II рода равны Нормальный интеграл III рода по Вейерштрассу имеет вид

где сигма-функция Вейерштрасса, . При этом справедливо правило перестановки:

где п - целое число. Периоды нормального интеграла III рода имеют вид

где n1, n3целые, -логарифмич. период.

В приложениях чаще встречается нормальная форма Лежандра. При этом

где kназ. модулем Э. и., k² иногда наз. лежандровым модулем, дополнительным модулем. Чаще всего имеет место нормальный случай, когда 0<k<l, a z=x=sin tдействительное переменное. Э. и. I род а в нормальной форме Лежандра имеет вид

он наз. также неполным Э. и. I рода; наз. амплитудой Э. и. I рода. Амплитуда есть бесконечнозначная функция от и. Обращение нормального интеграла I рода приводит к эллиптич. функции Якоби z=sn и(см. Якоби эллиптические функции). Нормальный интеграл II рода в нормальной форме Лежандра имрет вид

он наз. также неполным Э. и. II рода. Интегралы

наз. полными Э. и. соответственно I и II рода. Лежандровы интегралы I рода имеют периоды 4K и 2iK', II рода периоды 4E и 2i(K'-E').

Нормальный интеграл III рода в нормальной форме Лежандра имеет вид

где n²параметр, чаще всего При или k²<u²<1 он наз. циркулярным интегралом, а при 0<п ²<k² или 1<n² гиперболич. интегралом.

По Якоби нормальный интеграл III рода определяется несколько иначе:

где n²=k²sn²a. Связь между интегралами III рода Якоби и Лежандра выражается формулой

циркулярный характер соответствует мнимым a, гиперболический действительным а.

Наряду с эллиптич. функциями, Э. и. находят многочисленные и важные применения в различных вопросах анализа и геометрии, физики, в частности механики, астрономии и геодезии. Составлены таблицы Э. и. подробные руководства по теории Э. и. и эллиптич. функций, а также сводки формул.

Лит.:[1] Беляков В. М., Кравцова Р. П., Раппопорт М. Г., Таблицы эллиптических интегралов, т. 1-2 М., 1962-63; [2] Янке Е., Эмде Ф., Л ёш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 3 изд., М., 1977.

См. также лит. при ст. Эллиптическая функция.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985