Математическая энциклопедия - эллиптическая кривая

неособая полная алгебраическая кривая рода 1. Теория Э. к. является истоком большей части современной алгебраич. геометрии. Но исторически теория Э. к. возникла как часть анализа, как теория эллиптических интегралов и эллиптических функций.

Примеры. Неособая проективная плоская кубич. кривая, пересечение двух неособых квадрик в трехмерном проективном пространстве, двулистное накрытие проективной прямой, разветвленное ровно в четырех точках, а также одномерное абелево многообразие и главное однородное пространство над ним являются Э. к.

Геометрия Э. к. Пусть X - Э. к. над алгебраически замкнутым полем k. Тогда Xбирегулярно изоморфна плоской кубич. кривой (см. [1], [9], [13]). Если то в проективной плоскости Р ² существует аффинная система координат, в к-рой Xимеет уравнение в нормальной форме Вейерштрасса

Кривая Xнеособа тогда и только тогда, когда многочлен х ³+ах+b не имеет кратных корней, т. е. дискриминант В Р ² кривая (1) имеет единственную точку на бесконечности, к-рую обозначают Р 0; Р0 - точка перегиба кривой (1), а касательная в P0 бесконечно удаленная прямая, j-инвариант Э. к. X

не зависит от выбора системы координат. Равенство j-инвариантов двух Э. к. равносильно тому, что эти Э. к. бирегулярно изоморфны. Для любого найдется Э. к. Xнад kс j(X)=j.

Групповая структура на Э. к. Пусть фиксированная точка Э. к. X. Отображение сопоставляющее точке дивизор Р-Р0 на Э. к. X, устанавливает взаимно однозначное соответствие между Э. к. Xи группой классов дивизоров степени 0 на X, т. е. Пикара многообразием кривой X. Это соответствие переносит на Xструктуру коммутативной группы, к-рая согласована со структурой алгебраич. многообразия и превращает X в одномерное абелево многообразие (X, Р0); точка Р 0 при этом является нулем группы. Введенная групповая структура допускает следующее геометрич. описание. Пусть плоская кубич. кривая. Тогда сумма точек Ри Qопределяется правилом где третья точка пересечения кривой Xс прямой, проходящей через точки Ри Q. Иначе говоря, сумма трех точек на Xравна нулю тогда и только тогда, когда они лежат на одном прямой.

Э. к. как одномерное абелево многообразие. Пусть п X обозначает эндоморфизм умножения на в (X, Р 0). Если (Y, Q0) Э. к. с отмеченной точкой Q0,то любое рациональное отображение имеет вид f(P) = h(P)+Q1, где гомоморфизм абелевых многообразий. При этом гомоморфизм hявляется либо постоянным отображением в точку Q0, либо изогенией, т. е. существует гомоморфизм абелевых многообразий такой, что для нек-рого п(см. [1], [6]).

Группа автоморфизмов Э. к. А* действует транзитивно на А. а ее подгруппа G=Aut(X, P0) автоморфизмов, оставляющих на месте точку Р 0, нетривиальна и конечна. Пусть char kотлична от 2 и 3. Если j(X)не равно 0 или 1728, то группа Gсостоит из двух элементов 1X и ()X. Порядок Gравен 4 при j(X) =1728 и 6 при j(X)=0 (см. [1], [6], [13]).

Важным инвариантом Э. к. является кольцо эндоморфизмов R=End(X, P0) абелева многообразия (X, Р 0). Отображение определяет вложение Если то говорят, что X - Э. к. с комплексным умножением. Кольцо R может быть одного из следующих типов (см. [1], [9], [13]): I. II.Здесь -кольцо целых алгебраич. чисел мнимого квадратичного поля III. R некоммутативная -алгебра ранга 4 без делителей нуля. В этом случае р=char k>0 и R- порядок в алгeбре кватернионов над разветвленной только в р и Такие Э. к. существуют для всех ри наз. сулерсингулярными; несунерсингулярные Э. к. в характеристике р наз. обыкновенными Э. к.

Группа Х n= Кеr п X точек Э. к. X, порядок к-рых делит п, имеет следующую структуру: если (n, char k) = 1. При р = char k > 0 для обыкновенных Э. к. а для суперсингулярных Э. к. Для простого Тейта модуль Tl(X)изоморфен

Э. к. над незамкнутыми полями. Пусть X - Э. к. над произвольным полем k. Если множество k-рациональных точек X(k)кривой Xнепусто, то Xбирегулярно изоморфна плоской кубич. кривой (1) с 3). Бесконечно удаленная точка P0 кривой (1) определена над k. Как и выше, можно определить групповую структуру на кривой (1), превращающую Xв одномерное абелево многообразие над k, а множество X(k)в коммутативную группу с нулем P0. Если kконечно порождено над своим простым под-полем, то X(k) - группа с конечным числом образующих (теорема Морделла Вейля).

Для любой Э. к. Xопределено Якоби многообразие J(X), являющееся одномерным абелевым многообразием над k. Э. к. Xявляется главным однородным пространством над J(X). Если множество X(k)непусто, то выбор точки задает изоморфизм X~J(X), при к-ром точка Р 0 переходит в нуль группы J(X). В общем случае Э. к. Xи J(X)изоморфны над конечным расширением поля k(см. [1], [4), [13]).

Э. к. над полем комплексных чисел. Э. к. Xнад является компактной римановой поверхностью рода 1 и обратно. Групповая структура превращает Xв комплексную группу Ли, являющуюся одномерным комплексным тором где -решетка в комплексной плоскости Обратно, любой одномерный комплексный тор является Э. к. (см. [3]). С топологич. точки зрения Э. к.двумерный тор.

Теория Э. к. над полем по существу, эквивалентна теории эллиптич. функций. Отождествление тора с Э. к. осуществляется следующим образом. Эллиптич. функции с данной решеткой периодов L образуют поле, порожденное -функцией Вейерштрасса (см. Вейерштрасса эллиптические функции )и ее производной к-рые связаны соотношением

Отображение индуцирует изоморфизм тора и Э. к. с уравнением у ²=4x³-g2x-g3. Отождествление Э.