Математическая энциклопедия - гильберта преобразование

функции fнесобственный интеграл

Если , то функция gсуществует почти для всех значений х. Если , , тогда функция gтакже принадлежит и почти всюду имеет место двойственная формула [обращение преобразования (1)]:

где константа . зависит только от р.

Формулы (1), (2) эквивалентны формулам

в к-рых интегралы понимаются в смысле главного значения.

Г. п. функции f называется также рассмотренный в смысле главного значения интеграл

Этот интеграл часто наз. Гильберта сингулярным интегралом. В теории рядов Фурье функцию определяемую формулой (6), наз. сопряженной с f.

Если то gсуществует почти всюду, а если f удовлетворяет условию Липшица с показателем то gсуществует при любом x и удовлетворяет тому же условию. Если то обладает тем же свойством и имеет место неравенство, аналогичное (3), в к-ром интегралы взяты на интервале (0,2p). Таким образом, интегральные операторы, порождаемые Г. п., являются ограниченными (линейными) операторами в соответствующих пространствах

Когда f удовлетворяет условию Липшица или и, кроме того,

то имеет место двойственная формула

причем

В классе функций, удовлетворяющих условию Липшица, равенство (7) справедливо всюду, а в классе функций, суммируемых с р-й степенью, почти всюду.

Каждую из выписанных выше двойственных формул [напр. (4), (5)] можно рассматривать как интегральное уравнение 1-го рода; тогда вторая формула даст решение этого уравнения.

Когда функции и рассматриваются как ядра интегральных операторов, то их часто наз. Гильберта ядрам и Коши ядром. Между этими ядрами в случае единичной окружности существует простая связь:

где

Лит.: [1] Нillbеrt D., Grundzuge eincr allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Lpz.В., 19)2 (2 Aufl., 1924); [2] RieszM., "Math. Z.", 1927, Bd 27, № 2, S. 218-44: [3] Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.-Л., 1948; [4] Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3изд., М., 1968; [5] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961.

Б. В. Хведелидзе.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985