Математическая энциклопедия - гильберта инвариантный интеграл

криволинейный интеграл от замкнутой дифференциальной формы, являющейся производной действия функционала вариационного исчисления. Для функционала

ищется вектор-функция наз. полем, так, чтобы интеграл

не зависел от пути интегрирования. Если такая функция существует, то иаз. инвариантным интегралом Гильберта. Условие замкнутости подинтегральной дифференциальной формы порождает систему уравнений с частными производными 1-го порядка.

Г. и. и. наиболее естественным путем воссоединяет теорию Вейерштрасса и теорию Гамильтона-Якоби. Значение Г. и. и. на кривых, соединяющих точки и , становится, в силу инвариантности , функцией этой пары точек и наз. действием. Линия уровня наз. трансверсалями поля . Решения уравнения являются экстремалями функционала . Обратно, если нек-рая область покрыта полем экстремалей, то интеграл , построенный по функции , равной производной экстремали, проходящей через , есть Г. и. и. Возможность подобного окружения, а значит, и построения Г. и. и., формулируется обычно в виде Якоби условия.

Если кривая проходит в области, покрытой полем, через точки и , соединенные также экстремалью , то инвариантность Г. и. и. и равенство позволяют получить Вейерштрасса формулу для приращения функционала, а следовательно, и достаточное Вейерштрасса условие экстремума.

При закрепленной точке действие есть функция точки и Переход, к каноническим координатам

позволяет записать Г. и. и. в виде

при этом

Эти соотношения эквивалентны уравнению Гамильтона Якоби.

Интеграл для поля геодезических был введен Э. Бельтрами [1] в 1868, а в общем случае Д. Гильбертом [2] [4] в 1900.

Лит.:[1] Вeltrami Е., "Rend. Ist. Lombardo Sci. Let.", 1868, v. 1, № 2, p. 708-718; [2] Hi1bert D., "Nachr. Ges. Wiss. Gottingen", 1900, S. 253-97; [3] Проблемы Гильберта, М., 1969, с. 57-63; [4] Hilbert D., "Math. Ann.", 1906, Bd 62, S. 351-70; [5] Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчислению, М., 1955, с. 55-6; [6] Гельфанд И. М., Фомин С. В., Вариационное исчисление, М., 1961, с. 135146; [7] Caratheodory С., Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordmmg, B.L., 1935; [8] Янг Л., Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, пер. с англ., М., 1974.

В. М. Тихомиров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985