Математическая энциклопедия - гильбертово пространство с индефинитной метрикой

гильбертово пространство Е над полем комплексных чисел, снабженное непрерывной билинейной (точнее полуторалинейной) формой G, к-рая, вообще говоря, не является положительно определенной. Форму Gчасто наз. G-метрикой. Наиболее важным частным случаем Г. п. с и. м. является так наз. J-пространство: Г. п. с и. м., в к-ром форма Gопределяется нек-рой эрмитовой инволюцией J в Епо формуле . В этом случае форма G обозначается также буквой J и наз. J-метрикой. Инволюция допускает представление в виде ортогональные проекторы в число наз. рангом индефинитности J-метрики или J-пространства. Если , то Г. п. с и. м. наз. Понтрягина пространством. см. также Пространство с индефинитной метрикой.

Два Г. п. с и. м. и наз. метрически эквивалентными, если существует линейный гомеоморфизм Uгильбертова пространства Ена пространство , переводящий форму G в форму G-метрика, порождаемая обратимым эрмитовым оператором G по формуле , наз. регулярной; после введения нового скалярного произведения, метрически эквивалентного старому, регулярная G-метрика становится J-метрикой. Каждое Г. н. с и. м. с эрмитовой формой G может быть G-изометри-чески (т. е. с сохранением формы G) погружено в нек-рое J-пространство [2], [3].

Главные направления в теории Г. п. с и. м.те же, что и в общих пространствах с индефинитной метрикой, но со значительным уклоном в спектральную теорию. Геометрия Г. п. с и. м. существенно богаче, чем у общих пространств с индефинитной метрикой. Так, в случае J-пространств имеется эффективное описание максимальных подпространств Lсреди всех неотрицательных (неположительных, нейтральных): это те L, для к-рых (соответственно выполнено хотя бы одно из этих равенств). Отсюда аналог закона инерции квадратичных форм: если канонич. разложение J-пространства в сумму семидефинитных подпространств, то Подпространство Lявляется максимальным неотрицательным тогда и только тогда, когда Lимеет угловой оператор K относительно Е +, т. е.

В J-пространствах развита теория базисов, к-рая помогает изучать геометрию Г. п. с и. м., а также операторы в них J-ортонормированный базис J-пространства есть базис в гильбертовом пространстве Е, удовлетворяющий условиям (, )= ; Для того чтобы J-ортонормированная последовательность была базисом Рисса пространства Е, необходимо и достаточно, чтобы где -замкнутая линейная оболочка векторов . Если -J-ортонормиро-ванный базис в Е, то разложение есть канонич. разложение J-пространства Е. Большую группу геометрич. задач в Г. п. с и. м., возникающих в теории операторов в этих пространствах, составляют вопросы, связанные со структурой и свойствами так наз. дуальных пар подпространств Г. п. с и. м. , т. е. таких пар N, Р подпространств в Е, что Nи Рвзаимно J-ортогональны, причем N-неположительное, а Р - неотрицательное подпространства. Дуальная пара наз. максимальной, если максимальные семидефинитные подпространства.

Теория операторов в Г. п. с и. м. Метрика G считается эрмитовой и невырожденной, а встречающиеся операторы плотно заданными. Пусть для оператора Тс областью определения DT определен G-сопряжеиный оператор Т ^с равенством

При этом и

Оператор Тназ. G-cамосопряженным, если

, и G-c имметричным, если