Математическая энциклопедия - гильбертово пространство

векторное пространство Н над полем комплексных (или действительных) чисел вместе с комплексной (действительной) функцией ( х, у), определенной на и обладающей следующими свойствами.

то существует такой элемент , что

элемент хназ. пределом последовательности ;

7) Н - бесконечномерное векторное пространство.

Функция , удовлетворяющая аксиомам 1) 5), наз. скалярным произведением, или внутренним произведением, элементов хи у. Величина наз. нормой (или дли но и) элемента . Имеет место неравенство . Если ввести в Нрасстояние между элементами при помощи равенства то Нпревращается в метрическое пространство.

Два Г. п. наз. изоморфными (или изометрически изоморфным и), если существует взаимно однозначное соответствие , между , сохраняющее линейные операции и скалярное произведение.

Г. п. составляют наиболее распространенный и важный для приложений класс бесконечномерных векторных пространств. Они представляют собой естественное обобщение понятия конечномерного векторного пространства со скалярным произведением (т. е. конечномерного евклидова пространства, или конечномерного унитарного пространства). Именно, если в конечномерном векторном пространстве (над полем действительных или комплексных чисел) задано скалярное произведение, то свойство 6), наз. по л нотой Г. п., выполняется автоматически. Бесконечномерные векторные пространства Нсо скалярным произведением наз. предгильбертовыми пространствами; существуют предгильбертовы пространства, в к-рых свойство 6) не выполняется. Всякое предгильбертово пространство может быть дополнено до Г. п.

Иногда в определение Г. п. не включается условие бесконечномерности, т. е. предгильбертовым пространством наз. векторное пространство над полем комплексных (или действительных) чисел со скалярным произведением, а Г. п. наз. полное предгильбертово пространство.

Примеры Г. п. 1) Комплексное пространство (или l2). Элементами этого Г. п. являются бесконечные последовательности комплексных чисел со сходящейся суммой квадратов модулей:

скалярное произведение определяется равенством

2) Пространство (обобщение примера 1)). Пусть Т - произвольное множество. Элементами Г. п. являются комплекснозначные функции х(t).на Т, отличные от нуля не более чем в счетном множестве точек и такие, что ряд

сходится. Скалярное произведение определяется равенством

Всякое Г. п. изоморфно пространству для нек-рого соответствующим образом подобранного Т.

3) Пространство (или ) комплекснозначных функций , определенных на множестве Sс вполне аддитивной положительной мерой (заданной на -алгебре -подмножеств множества ), измеримых и имеющих интегрируемый квадрат модуля:

В этом Г. п. скалярное произведение определяется равенством

4) Соболева пространство , обозначаемое также (см. Вложения теоремы).

5) Г. п. функций со значениями в Г. п Пусть Ннек-рое Г. п. со скалярным произведением (x, у), . Пусть, далее, произвольная область в , а , функция се значениями в Н, измеримая в смысле Бохнера (см. Бохнера интеграл).и такая, что

где dxмера Лебега на (вместо меры Лебега можно взять любую другую положительную счетно аддитивную меру). Если на этом множестве функций определить скалярное произведение

то получится новое Г. п. H1.

6) Множество непрерывных Бора почти периодических функций на прямой образует предгильбертово пространство, если скалярное произведение определяется равенством

Существование предела вытекает из теории почти периодич. функций. Это пространство пополняется Безиковича почти периодическими функциями класса В ².

Пространства l² и L² были введены и изучены Д. Гильбертом [1] в основополагающих работах по теории интегральных уравнений и бесконечных квадратичных форм. Определение Г. п. было дано Дж. Нейманом [3], Ф. Риссом [4] п М. Стоуном [13], к-рые положили также начало его систематич. изучению.

Г. п. является естественным обобщением обычного трехмерного пространства евклидовой геометрии, и многие геометрич. понятия имеют интерпретацию в Г. п., что позволяет говорить огеометрии Г. п. Два вектора х, уиз Г. п. Нназ. ортогональными , если Два линейных многообразия из Я наз. ортогональными , если каждый элемент из ортогонален каждому элементу из .Ортогональным дополнением множества называется множество т. е. множество элементов , ортогональных ко всем элементам из А. Оно обозначается или, если Нподразумевается, . Ортогональное дополнение произвольного множества из Несть замкнутое линейное многообразие. Если замкнутое линейное многообразие в Г. п. (называемое также подпространство м), то всякий элемент единственным образом может быть представлен в виде суммы . Это разложение наз. теоремой об ортогональном дополнении и записывается обычно в виде

При этом теорема справедлива также в случае, если Я есть предгильбертово пространство, а замкнутое линейное многообразие в . В связи с этим уместно отметить, что нек-рые другие утверждения теории Г. п. справедливы полностью или частично и в предгильбертовых пространствах. Однако практически это обстоятельство не очень существенно, ибо встречающиеся в приложениях пространства либо полны, либо известно, как их пополнить.

Множество наз. ортонормиро ванным множеством, или ортонормпрованной системой, если любые различные два вектора из Аортогональны и если норма каждого вектора равна единице.

Ортонормированное множество наз. полным ортонормировании м множеством, если не существует ненулевого вектора из H, ортогонального ко всем векторам этого множества. Если ортонормированная последовательность, а последовательность скаляров, то ряд сходится в том и только в том случае, когда

при этом

(теорема Пифагора в Г. п.).

Пусть А - ортонормированное множество в Г. п. Н, а х - произвольный вектор из Н. Тогда для всех , за исключением конечного или счетного множества векторов. Ряд

Сходится, и его сумма не зависит от порядка расположения его ненулевых членов. Оператор Рявляется оператором ортогонального проектирования, или проектором, на замкнутое линейное многообразие, порождаемое множеством А. Множество наз. ортонормирован-ным базисом линейного многообразия , если Асодержится в и если для любого имеет место

т. е. любой вектор разлагается по системе А, или может быть представлен при помощи векторов системы .4. Набор чисел наз. набором коэффициентовФурье элемента хпо базису А. Каждое подпространство Г. п. Н(в частности, само Н).имеет ортонормированный базис.

В ортонормированным базисом является набор функций , определяемых формулой при при . В пространстве разложение вектора по базису принимает вид разложения функции по системе ортогональных функций важный метод решения задач математич. физики.

Для ортонормпрованного множества следующие утверждения эквивалентны: Аполно; Аявляется ортонормированным базисом для Н; для любого .

Все ортонормированные базисы данного Г. п. имеют одну и ту же мощность. Этот факт позволяет определить размерность Г. п. Именно, размерностью Г. п. наз. мощность произвольного ортонормированного базиса в нем. Иногда эта размерность наз. гильбертовой размерностью (в отличие от линейной размерности Г. п., т. е. мощности базиса Гамеля (Хамеля) понятия, не учитывающего топологич. структуру Г. п.). Два Г. п. изоморфны в том и только в том случае, когда они имеют одну и ту же размерность. С понятием размерности связано понятие дефекта, или коразмерности, подпространства. Именно, дефектом подпространства Г. п. Нназ. размерность ортогонального дополнения Подпространство, дефект к-рого равен 1, т. е. ортогональное дополнение к-рого одномерно, называется гиперпространством. Параллельное ему плоское множество называется гиперплоскостью.

Некоторые из геометрич. понятий требуют использования терминологии линейных операторов в Г. п.; к ним относится, в частности, понятие раствора линейных многообразий. Раствором многообразий и в Г. п. Н наз. норма разности операторов, проектирующих Нна замыкание этих линейных многообразий.

Простейшие свойства раствора:

причем в случае строгого неравенства .

Во многих задачах, относящихся к Г. п., участвуют лишь конечные наборы векторов Г. п., т. е. элементы конечных линейных многообразий Г. п. Поэтому понятия и методы линейной алгебры играют в теории Г. п. большую роль. Векторы в Г. п. наз. линейно независимыми, если равенство

где скаляры, возможно лишь в том случае, когда все равны нулю. Для линейной независимости векторов необходимо и достаточно, чтобы их Грама определитель был отличен от нуля. Счетная последовательность векторов наз. линейно независимой последовательностью, если линейно независима каждая ее конечная часть. Каждая линейно независимая последовательность может быть ортогонализирована, т. е. может быть построена такая ортонормированная система что для каждого п линейные оболочки множеств и совпадают. Это построение наз. процессом ортогонализации (ортонорма-лизации) Грама Шмидта и осуществляется следующим образом:

В множестве Г. п. определены операции прямой суммы и тензорного произведения Г. п. Прямой суммой Г. п. где каждое обладает соответствующим скалярным произведением, наз. Г. п.

определяемое следующим образом: в векторном пространстве прямой сумме векторных пространств задается скалярное произведение равенством

При элементы из и в прямой сумме

взаимно ортогональны, и проектирование на совпадает с ортогональным проектированием на Понятие прямой суммы Г. п. обобщается на случай бесконечного множества прямых слагаемых. Пусть для каждого v из нек-рого множества Аиндексов задано Г. п. . Прямой суммой Г. п. наз. (и обозначается ) совокупность Нвсех определенных на Афункций , обладающих тем свойством, что для каждого , и

.

При этом в Нлинейные операции определяются равенством

и скалярное произведение равенством

При таком способе введения линейных операций и скалярного произведения прямая сумма

становится Г. п.

Другой важной операцией в множестве Г. п. является тензорное произведение. Тензорным произведением Г. п. наз. Г. п., определяемое следующим образом. Пусть тензорное произведение векторных пространств В векторном пространстве существует единственное скалярное произведение такое, что

для всех Векторное пространство становится, таким образом, предгильбертовым пространством, пополнение к-рого есть Г. п., обозначаемое пли и наз. тензорным произведен и ем Г. п..