Математическая энциклопедия - гильберта геометрия

геометрия полного метрич. пространства Нс метрикой ; к-рое вместе с любыми двумя различными точками хи усодержит точки z и tтакие, что и к-рое гомеоморфно выпуклому множеству n-мерного аффинного пространства , причем геодезические отображаются в прямые Aⁿ. Напр., пусть К - выпуклое тело пространства , граница к-рого не содержит двух неколлинеарных отрезков, и пусть точки х,. расположены на прямой l, пересекающей в точках границу двойное отношение точек (если то ). Тогда

метрика Г. г. (метрика Гильберта). Если K центрально симметрично, то является метрикой Минковского (см. Минковского геометрия), если К - эллипсоид, то определяет геометрию Лобачевского.

Проблема определения всех метризации К, при к-рых геодезическими являются прямые, составляет содержание 4-й проблемы Гильберта; решена полностью [4].

Обобщением Г. г. является так наз. геометрия геодезических (см. Геодезических геометрия).

Г. г. впервые была упомянута Д. Гильбертом (D. Hilbert) в 1894 в письме к Ф. Клейну (F. Klein).

Лит.:[1] Гильберт Д., Основания геометрии, М.-Л., пер. с нем., 1948; [2] Проблемы Гильберта, М., 1969; [3] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М,, 1962; [4] Погорелов А. В., Четвертая проблема Гильберта, М., 1974. М. И. Войцехоеский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985