Математическая энциклопедия - гильберта - шмидта интегральный оператор

ограниченный линейный интегральный оператор Т, действующий из пространства в и представимый в виде

где ядро оператора (см. [1]).

Впервые такого рода операторы рассматривались Д. Гильбертом (D. Hilbert) и Э. Шмидтом (Е. Schmidt) в 1907. Г.Ш. и. о. является вполне непрерывным оператором (см. [2]). Сопряженный к нему оператор также есть Г.Ш. и. о. с ядром [3]. Г.Ш. и. о. будет самвсопряженным оператором тогда и только тогда, когда для почти всех (относительно ). Для самосопряженного Г.Ш. и. о. и его ядра имеют место разложения

где ортонормированная система собственных функций оператора Т, отвечающих собственным значениям ряд (1) сходится по норме а ряд (2) сходится по норме (см. [4]). В условиях Мерсера теоремы ряд (2) сходится абсолютно и равномерно (см. [5]).

Если

то ряд (1) сходится абсолютно и равномерно (см. [4]). Линейный оператор

является Г.Ш. и. о. тогда и только тогда, когда есть -линейный оператор (см. [6]). Если есть -конечная мера, то линейный оператор

является Г.Ш. и. о. тогда и только тогда, когда существует такая функция . что для всех неравенство

справедливо для почти всех (относительно меры ) [7]. Таким образом, Г.Ш. и. о. образуют двусторонний идеал в банаховой алгебре всех линейных ограниченных операторов, действующих из в Г. Ш. и. о. играют важную роль в теории интегральных уравнений и в теории краевых задач (см. [8], [9]), так как операторы, возникающие во многих задачах математич. физики, либо сами являются Г.Ш. и. о., либо их итерации нек-рого порядка обладают этим свойством. Естественным обобщением Г.Ш. и. о. является Гильберта Шмидта оператор. Лит.:[1] Данфорд Н., Шварц Д ж. , Линейные операторы, ч. 2, пер. с англ., М.,.1966; [2] Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [3] Stоnе М. Н., Linear Transformations in Hilbert Space and their Applications to Analysis, N. Y., 1964; [4] Рисе Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; [5] Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964; [6] Канторович Л. В. [и др.].. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах, М.Л., 1950; [7] Wеidmann J., Manuscripta Math., 1970, v. 2, № 1, p. 1-38; [8] Морен К., Методы гильбертова пространства, пер. с польск., М., 1965; [9] Березанский Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965. В. Б. Коротков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985