Математическая энциклопедия - коши интеграл

1) К. и. определенный интеграл от непрерывной функции одного действительного переменного. Пусть функция f(x).непрерывна на отрезке

наз. определенным интегралом по К о ш и от функции f(x) на отрезке [ а, b]и обозначают

К. и. частный случай Римана интеграла. Определение дано О. Конш в [1].

Лит.:[1] С а u с h у A. L., Resume des lecons donnees ft l'Ecole Royale Polytechnique sur le calcul infinitesimal, t. 1, P., 1823. Л. Д. Кудрявцев.

2) К. и. интеграл с ядром Коши

выражающий значения регулярной аналитич. функции f(z) внутри контура Lчерез ее значения на L. Точнее, пусть f(z) регулярная аналитич. функция комплексного переменного z в области Dи L - замкнутая кусочно гладкая жорданова кривая, расположенная в Dвместе со своей внутренностью G, причем обход Lсовершается против часовой стрелки. Тогда справедлива основная в теории аналитич. функций одного комплексного переменного интегральная формула Коши:

Стоящий справа в формуле (1) интеграл и наз. интегралом Коши. Впервые, по-видимому, К. и., применительно к частным ситуациям, появляется в работах О. Коши [1].

К. и. характеризуется, таким образом, двумя условиями: 1) К. и. берется по замкнутой гладкой или хотя бы кусочно гладкой кривой L;2) подинтегральная функция К. и. имеет вид

где а f(z) регулярная аналитич. функция на Lи внутри Л. Если в К. и. т. е. если z расположена во внешности кривой L, то при сохранении условий 1) и 2):

В частности, если L - окружность радиуса р с центром z, т. е.

то из (1) следует

т. е. значение f(z) в любой точке равно среднему арифметическому ее значений на любой достаточно малой окружности с центром z. Формула (1) позволяет получить и все остальные элементарные свойства аналитич. функций.

Если, с другой стороны, f(z).является регулярной аналитич. функцией в бесконечной области внешности замкнутой кривой Lи на L,

то справедлива интегральная формула Коши для бесконечной области:

Пусть теперь Г некоторая, не обязательно замкнутая, кусочно гладкая кривая, расположенная в конечной плоскости непрерывная комплексная функция на Г и z точка, не лежащая на Г. И н т е г р а л о м типа Коши (и. т. К.) наз. обобщение К. и. в виде

Функцию наз. иногда плотностью интеграла типа Кош и. Простейшие свойства и. т. К.:

1) F(z) - регулярная аналитич. функция переменного z в любой области, не содержащей точек Г;

2) производные F⁽ⁿ⁾(z) выражаются формулами

3) функция регулярна в бесконечности, причем при

С точки зрения общей теории аналитич. функций и применений к механике и физике, основное значение имеет вопрос о существовании граничных значений и. т. К. при приближении к Г и об их аналитич. выражении. К.