Математическая энциклопедия - коши задача

численные методы решения для обыкновенного дифференциального уравнения. Задачей Коши наз. задача определения функции или нескольких функций, удовлетворяющих одному или, соответственно, системе дифференциальных уравнений и принимающих заданные значения в нек-рой фиксированной точке. Пусть

вектор-функции, определенные и непрерывные соответственно на отрезке и в замкнутой области где некоторая норма в конечномерном пространстве Rⁿ. В этих обозначениях К. з. для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка записывается в виде

Вводя соответствующим образом новые неизвестные функции, можно привести к такому виду К. з. для любой системы обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка. Решение задачи (1) существует, если функция f(x, у).непрерывна в П. Для того чтобы это решение было единственным, достаточно, чтобы выполнялось условие О т к у д а:

где функция w(t) такова, что

или более сильное условие Липшица:

Величина Lназ. постоянной Липшица. Если функция f(x, у).непрерывно дифференцируема по у, то в качестве постоянной Липшица можно взять величину

Оценка (3) с постоянной Липшица (4) оказывается в ряде случаев слишком грубой для успешного применения численных методов решения К. з., несмотря на то, что теоретически решение этой задачи существует и оно единственно. Это происходит, в частности, в тех случаях, когда собственные значения матрицы имеют "большой разброс", т. е. наибольшее собственное значение в сотни или даже тысячи раз больше наименьшего собственного значения. Такие системы, дифференциальных уравнений наз. жесткими системами, а соответствующие задачи жесткими задачами Кош и. Одним из источников возникновения жестких систем является сведение уравнений с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, напр. с помощью метода прямых.

Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений представляют собой, как правило, одно или несколько соотношений, связывающих искомую функцию у(х).в дискретной последовательности точке х k, k=0, 1, ..., множество к-рых наз. сеткой. Основы численных методов вообще и для дифференциальных уравнений в частности были заложены Л. Эйлером (L. Euler). Его именем называется один из самых простых методов решения К. з., к-рый состоит в следующем. Пусть решение задачи (1) в окрестности точки х k разложено в ряд Тейлора

Если величина х-х k, мала, то, отбрасывая члены порядка ( х-xk)² и более высокого, получают приближенное равенство

В точке xk+1 приближенное решение может быть вычислено по формуле

Это соотношение и наз. методом Эйлера.

В дальнейшем численные методы были значительно усовершенствованы. Это развитие велось в основном в двух направлениях: методы, получившие в дальнейшем название Рунге-Кутта методов и конечноразностные методы, важнейшим представителем к-рых является Адамса метод.

К достоинствам методов Рунге Кутта следует отнести то, что алгоритмы, получающиеся на их основе, являются однородными, т. е. не изменяющимися при переходе от одной точки сетки к другой. Кроме того, в методах Рунге Кутта можно изменять шаг интегрирования в соответствии с требуемой точностью вычислений без значительного усложнения самого алгоритма (см. Кутта Мерсона метод, Рунге правило). На основе этих методов созданы достаточно надежные двусторонние методы. Основным недостатком является то, что для вычисления приближенного решения в одной точке сетки требуется несколько вычислений правой части f(x, у).дифференциального уравнения (1). Это приводит, в особенности при сложных правых частях, к значительному увеличению времени вычислений.

В конечноразностных методах, в том числе в методе Адамса, требуется лишь одно вычисление правой части на один узел сетки. Это является главным достоинством конечноразностных методов. Однако для того чтобы начать вычисления по какой-либо конечноразностной формуле, необходимо прежде вычислить дополнительные "начальные значения". Это приводит к тому, что алгоритм оказывается неоднородным первые несколько значений должны вычисляться по другим формулам. Более существенным недостатком конечноразностных методов является невозможность простого изменения шага интегрирования, т. е. необходимость использовать сетки с постоянным шагом.

На основе конечноразностных методов разработаны так. наз. методы предсказания уточнения, к-рые представляют собой пару конечноразностных формул, одна из к-рых (предсказывающая) является, как правило, явной, а вторая (уточняющая) неявной, напр., предсказывающая:

уточняющая:

Предсказывающе-уточняющие методы находят успешное применение при решении жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Несмотря на то, что дифференциальные уравнения высокого порядка формально сводятся к системе уравнений 1-го порядка, методы, приспособленные к конкретному виду дифференциального уравнения, иногда оказываются значительно более эффективными. В связи с этим развиваются конечноразностные методы, использующие производные высшего порядка, напр. Штермера метод.

Лит.:[1] Б е р е з и н И. С., Ж и д к о в Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962; [2] Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975; [3] Modern Numerical Methods for ordinary differential equations, Oxf., 1976.

В. В. Поспелов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985