Математическая энциклопедия - коши оператор

системы обыкновенных дифференциальных уравнений

зависящий от параметров оператор сопоставляющий значению всякого решения x(t).системы (1) в точке значение этого же решения в точке

Если система (1) линейная, т. е.

где -суммируемое на каждом отрезке отображение (или то К. о. при всяких есть невырожденное линейное отображение (соответственно ), удовлетворяющее при всяких равенствам:

н неравенству

(Для нелинейной системы (1), удовлетворяющей условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши, равенства (3) тоже верны, с должными оговорками относительно областей определения входящих в них операторов.) Общее решение системы

где суммируемое на каждом отрезке отображение записывается через К. о. системы (2) формулой произвольных постоянных вариации:

Для К. о. системы (2) имеет место Лиувилля-Остроградского формула

где след оператора

Производная К. о. системы (1) в точке равна К. о. системы уравнений в вариациях вдоль решения x(t).системы (1), равного хпри (предполагается, что график решения х(t).при всех t, принадлежащих отрезку с концами содержится в области такой, что f непрерывное отображение имеющее непрерывную в G производную это одна из формулировок теоремы о дифференцируем ости решения по начальному значению).

Для линейной системы (2) с постоянными коэффициентами (A(t)=A) К. о. задается формулой

(ехр Вдля линейного оператора Вопределяется как при другом подходе за определение ехр А можно принять формулу (4), положив в ней ). Из формулы (4) видно, что К. о. зависит только от разности параметров

Это равенство следствие автономности системы, имеющее место для всякой автономной системы

обозначив для системы (5) К. о. через получают из формул (3) следующие формулы:

(см. также Динамическая система, Действие группы). Для линейной системы (2) с периодическими коэффициентами:

при нек-ром T>0 и всех выполняется тождество при всех _ для такой системы оператор где любое, наз. оператором м о н о д р о м и и. Матрица, задающая оператор (или, напр., Х( Т,0)) в каком-либо базисе, наз. монодромии матрицей. Все операторы монодромии фиксированной линейной системы с периодическими коэффициентами подобны друг другу:

поэтому спектр оператора монодромии не зависит от т. Собственные значения оператора монодромии наз. мультипликаторами такой системы, через них выражаются условия устойчивости и условной устойчивости системы (см. Ляпунова характеристический показатель, Устойчивость по Ляпунову, Устойчивости теория). Для систем (2) с периодическими комплексными коэффициентами:

для нек-рого T>0 и всех имеет место теорема Ляпунова:

где при любых является невырожденным линейным оператором периодически зависящим от

Иногда К. о. наз. по-другому (напр., "матрицантом"для линейной системы, или "оператором сдвига по траекториям"). В. М. Миллионщиков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985