Математическая энциклопедия - коши теорема

1) К. т. о многогранниках: два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если между их истинными гранями, ребрами и вершинами имеется сохраняющее инцидентность взаимно однозначное соответствие, причем соответствующие грани многогранников конгруэнтны. К. т.первая теорема об однозначной определенности выпуклых поверхностей, поскольку многогранники, о к-рых идет речь в К. т., изометричны в смысле внутренней метрики. К. т. является частным случаем теоремы о том, что всякая замкнутая выпуклая поверхность однозначно определяется своей метрикой (см. [4]).

К. т. установлена О. Коши (см. [1]).

Лит.:[1]Cauchy A. L., "J. Ecole polytechn.", 1813, t. 9, p. 87-98; [2] А л е к с а н д р о в А. Д., Выпуклые многогранники, М.Л., 1950; [3] А дам ар Ж., Элементарная геометрия, 3 изд., ч. 2, М., 1958; [4] Погорелов А. В., Однозначная определенность выпуклых поверхностей, М.Л., 1949 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 29). Е. В. Шикин.

2) К. т. о промежуточных значениях непрерывной функции на отрезке: если функция f, значениями к-рой являются действительные числа, непрерывна на [a, b]и число Слежит между f(a) и f(b), то существует такая точка что В частности, если f(a) и f(b).имеют разные знаки, то существует такая точка , что В этой форме К. т. используют для выделения промежутков, в к-рых заведомо имеются нули рассматриваемой функции. Из К. т. следует, что образом промежутка числовой прямой при его непрерывном отображении в числовую прямую является также промежуток. К. т. допускает обобщение на топология, пространства: всякая непрерывная функция определенная на связном топологич. пространстве X( множество действительных чисел), принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними, поэтому образ пространства Xтакже промежуток числовой прямой.

К. т. была сформулирована независимо Б. Больцано (В. Bolzano, 1817) и О. Коши (A. Cauchy, 1821).

3) К. т. о среднем значении обобщение формулы конечных приращений Лагранжа. Если функции fи g принимают действительные значения, непрерывны на [ а, b]и дифференцируемы на ( а, b), причем на (а, b), а потому то существует такая точка что

При получается формула конечных приращений Лагранжа. Геометрич. смысл К. т. состоит в том, что на всякой непрерывной кривой x=f(t), y=g(t). лежащей на плоскости хОу и имеющей в каждой точке (f(t). g(t)).касательную, есть точка в к-рой касательная параллельна хорде, соединяющей концы (f(a), g(a)) и(f(b), g(b)).рассматриваемой кривой.

Лит.:[1] Ильин В. А., П о з н я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [2] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973; [3] Н и к о л ь с к и и С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975. Л. Д. Кудрявцев.

4) К. т. в теории групп: если порядок конечной группы Gделится на простое число р, то Gобладает элементами порядка р.

Теорема была доказана О. Коши (см. [1]) для групп подстановок.

Лит.:[1] С а и с h у A. L., в кн.: Exercices d'analyse et de physique mathematique, t. 3, P., 1844, p. 151-252; [2] К у-p о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985