Математическая энциклопедия - коши интегральная теорема

если f(z) регулярная аналитич. функция комплексного переменного z в односвязной области Dна комплексной плоскости С = С ¹, то интеграл от f(z), взятый по любой замкнутой спрямляемой кривой g, расположенной в D, равен нулю, т. е.

Эквивалентная формулировка К. и. т. утверждает, что интеграл

не зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего фиксированные точки а и 6 в области D. Именно такой в сущности и была первоначальная формулировка К. и. т., предложенная О. Коши в 1825 (см. [1]); близкие формулировки имеются в письмах К. Гаусса (С. Gauss, 1811). Доказательство О. Коши содержало дополнительное предположение непрерывности производной f'(z); первое полное доказательство дано Э. Гурса [2]. Свойство аналитич. функций, выражаемое К. и. т., полностью характеризует последние (см. Мореры теорема), и потому из К. и. т. выводятся все основные свойства аналитич. функций.

В случае произвольной области Dна плоскости С или на римановой поверхности К. и. т. может быть сформулирована так: если f(z) регулярная аналитич. функция в области D, то интеграл от f(z) по любой спрямляемой замкнутой кривой гомотопной нулю в D, равен нулю.

Распространением К. и. т. на случай аналитич. функций многих комплексных переменных является теорема Коши Пуанкаре: если f(z), z=(z1, ..., zn),регулярная аналитич. функция в области Dкомплексного пространства то для любой (п+1)-мерной поверхности с гладкой границей интеграл

где f(z)dz - сокращенное обозначение голоморфной дифференциальной формы

При п=1 поверхность Gи область Dимеют одинаковую размерность, n+1=2n (случай классической К. и. т.); при n>1 размерность Gменьше размерности D,n+1<2n. См. также Вычет, Ноши интеграл.

Лит.:[1] Cauchy A. L., CEuvres completes, ser. 1, t. 4, P., 1890, p. 285; [2] Goursat E., "Acta math.", 1884, v. 4; p. 197-200; [3] М а р.