Математическая энциклопедия - коши-римана условия

Д'Аламбера Эйлера условия,условия на действительную и=и( х, у).и мнимую v= v(x, у).части функции комплексного переменного обеспечивающие моногенность и аналитичность f(z) как функции комплексного переменного.

Для того чтобы функция w=f(z), определенная в нек-рой области Dкомплексной плоскости z, была моногеннойвточке т. е. имела производную в точке z0 как функция комплексного переменного z, необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части ии vбыли дифференцируемы в точке (x0, y0) как функции действительных переменных хи у ичтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши Римана:

Если К.Р. у. выполнены, то производная f'(z) представима в любой из следующих форм:

Для того чтобы однозначная в области Dфункция f(z) была аналитической в D, необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части были дифференцируемыми функциями, удовлетворяющими К.Р. у. всюду в D. Функции и и v класса C²(D), удовлетворяющие К.Р. у. (1), являются, каждая по отдельности, гармоническими функциями от хи у, условия (1) суть условия сопряженности этих двух гармонич. функций: зная одну из них, вторую можно найти интегрированием.

Условия (1) справедливы для любых двух ортогональных направлений s и п, ориентированных взаимно так же, как оси Ох и Оу в виде:

Напр., в полярных координатах (r, j) при

Введя операторы комплексного дифференцирования

К.Р. у. (1) можно записать в виде

Таким образом, дифференцируемая функция переменных является аналитич. функцией от z тогда и только тогда, когда

Для аналитич. функций многих комплексных переменных

К.Р. у. записываются в виде переопределенной при n>1 системы уравнений с частными производными для функций

или, при помощи операторов комплексного дифференцирования, в виде:

Функции ии vкласса С ², удовлетворяющие условиям (2), являются при каждая по отдельности, плюригармоническими функциями от переменных Плюригармонич. функции при n>1 составляют собственный подкласс класса гармонич. функций. Условия (2) суть условия сопряженности двух плюригармонич. функций ии v:зная одну из них, другую можно найти интегрированием.

Условия (1) впервые, по-видимому, появились в работе Ж. Д'Аламбера [1]. В работе Л. Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 (см. [2]), условия (1) получили впервые характер общего признака аналитичности функций. О. Коши пользовался соотношениями (1) для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 (см. [3]). Знаменитая диссертация Б. Римана (В. Riemann) об основах теории функций относится к 1851 (см. [4]).

Лит.:[l] D'Alembert J., Essai d'une nouvelle theorie de la resistance des fluides, P., 1752; [2] E u 1 е г L., "Nova Acta Acad. Sc. Petrop.", 1797, v. 10, p. 3 19; [3]C a u с h у A.-L., CEuvres completes, ser. 1, t. 1, P., 1882, p. 319 506: [4] Р и м а н Б., Соч., пер. с нем., М.Л., 1948, с. 49-87; [5] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967, гл. 1; [6J Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976, ч. 1, гл. 1, ч. 2, гл. 1. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985