Математическая энциклопедия - коши критерий

1) К. к. сходимости числовой последовательности: для того чтобы последовательность чисел (действительных или комплексных) х n, n=1, 2, . . ., имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что для всех выполнялось неравенство

К. к. сходимости числовой последовательности обобщается в критерий сходимости точек полного метрич. пространства.

Последовательность точек {х п} полного метрич. пространства сходится в том и только в том случае, когда для любого существует такое N, что для всех выполняется неравенство

2) К. к. существования предела функций n переменных Пусть функция f определена на множестве Xre-мерного пространства Rⁿ и принимает числовые (действительные или комплексные) значения, а - предельная точка множества X(или символ бесконечность, в этом случае множество Xнеограничено). Конечный предел существует тогда и только тогда, когда для любого найдется такая окрестность U=U(a). точки а, что для любых и выполняется неравенство

Этот критерий обобщается на более общие отображения: пусть X - топологич. пространство, а - его предельная точка, в к-рой выполняется первая аксиома счетности, Y - полное метрич. пространство и f отображение Xв Y. Для того чтобы существовал предел

3) К. к. равномерной сходимости семейства функций. Пусть X - некоторое множество, Y - топологич. пространство, удовлетворяющее в предельной точке первой аксиоме счетности, Rполное метрич. пространство, f(x, у).отображение множества Семейство отображений f(x, у), отображающих при фиксированном множество Xв Я, является равномерно сходящимся на Xпри если для любого существует такая окрестность U=U(y0).точки y0, что для всех и всех выполняется неравенство

В частности, если Y - множество натуральных чисел и то последовательность равномерно сходится на множестве Xпри тогда и только тогда, когда для любого существует такой номер N, что для всех и всех номеров и выполняется неравенство

4)К. к. сходимости ряда: числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такой номер N, что для всех и всех целых выполняется неравенство

Для кратных рядов аналогичный критерий сходимости наз. критерием КошиШтольца. Напр., для того чтобы двойной ряд

сходился по прямоугольным частичным суммам

необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое N, что при всех и всех целых выполнялось неравенство

Эти критерии обобщаются на ряды в банаховых пространствах (вместо абсолютной величины берутся нормы соответствующих элементов).

5) К. к. равномерной сходимости ряда: пусть функции, определенные на нек-ром множестве Xи принимающие числовые значения. Для того чтобы ряд

равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что для всех целых выполнялось неравенство