Математическая энциклопедия - коши - ковалевской теорема

теорема, утверждающая существование (единственного) аналитич. решения задачи Коши в малом, если функции, задающие дифференциальное уравнение или систему этих уравнений и все начальные данные вместе с их нехарактеристическим носителем, являются аналитическими.

Для системы kдифференциальных уравнений с частными производными с kнеизвестными функциями

К. К. т. формулируется следующим образом: задача Коши

где носитель начальных данных всегда имеет и притом единственное аналитич. решение и( х, х 0). в нек-рой области W пространства переменных х 0,х, содержащей если являются аналитич. функциями всех своих аргументов.

Пусть дана линейная система дифференциальных уравнений вида

где вектор с неотрицательными, целочисленными координатами;

порядка , искомый вектор-столбец; В(х).заданный вектор с Nкомпонентами.

Вообще говоря, К.К. т. не исключает существования неаналитических, помимо аналитического, решений задачи Коши. Однако для линейной системы дифференциальных уравнений (3) с аналитич. оэффициентами и условиями Коши на аналитической нехаракте-ристич. поверхности задача Коши имеет не более одного решения в нек-рой окрестности поверхности s.При этом не предполагается аналитичность начальных данных и решения и(х].

Решение задачи Коши (1), (2), существование к-рого гарантируется К.К. т., может оказаться неустойчивым (т. к. малое изменение начальных данных jij(x). может вызвать сильное изменение решения), напр., в том случае, когда система (1) принадлежит эллиптич. типу. При неаналитических начальных данных задача Коши (1), (2) может потерять смысл, если не ограничиться случаем, когда система (1) является гиперболической.

К.К. т. для широкого класса уравнений обобщена на случай, когда начальное многообразие является характеристическим в каждой точке (см. [1], [2]). В этом случае начальные функции не могут быть заданы произвольно; они должны удовлетворять определенным условиям, к-рые диктуются дифференциальным уравнением.

Характеристическая задача Коши может иметь неединственное решение. В частности, имеет место следующее утверждение. Пусть Р( х, D) - дифференциальный оператор порядка тс главной частью и с вещественными аналитич. оэффициентами, определенный в окрестности W точки х ⁰ из евклидова пространства вещественная аналитическая в W функция такая, что но для некоторого j при х=х ⁰. Тогда существует такая окрестность точки х ⁰ и аналитическая при функция и(х).из класса что Р( х, b) и=0 и . .

Если начальное многообразие является характеристическим вдоль нек-рых кривых, то, вообще говоря, решение характеристич. задачи Коши многозначно в нек-рой окрестности начальной поверхности и степень ветвления определяется геометрич. природой соответствующих характеристич. поверхностей. Теорема доказана С. В. Ковалевской (1875).

Лит.:[1] Б е р с Л., Джон Ф., Ш е х т е р М., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [2] Б и ц а д з е А. В., Уравнения математической физики, М., 1976; 13] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; [4] К у р а н т Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [5] Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965. А. М. Нахушев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985