Математическая энциклопедия - наибольший общий делитель

наибольший из общих делителей целых, в частности натуральных, чисел . Если данные числа не все равны нулю, то такой делитель существует. Н. о. д. чисел обычно обозначают символом

Свойства Н. о. д.:

1) Н. о. д. чисел делится на любой общий делитель этих чисел;

2)

3) если целые числа представлены в виде

где различные простые,

то

Н. о. д. двух натуральных чисел можно найти при помощи Евклида алгоритма. Число шагов, необходимых для отыскания Н. о. д. двух чисел, превосходит не более чем в пять раз число цифр наименьшего из них, записанного в десятичной системе счисления.

Н. о. д. элементов области целостности наз. тот из общих делителей данных элементов, к-рый делится на любой из их общих делителей. Так, Н. о. д. двух многочленов над данным полем тот их общий делитель, к-рый делится на любой из их общих делителей. Если Н. о. д. двух элементов области целостности существует, то он единствен с точностью до обратимого множителя. Н. о. д. идеалов данного кольца наз. идеал порожденный объединением множеств (см. Факториалъное кольцо).

Лит.:[1] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 9 изд., М., 1981; [2] Бухштаб А. А., Теория чисел, 2 изд., М., 1966; [3] Маркушевич А. И., Деление с остатком в арифметике и алгебре, М.Л., 1949; [4] Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М., Современная математика, пер. с франц., М., 1966; [5] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968.

А. А. Вухштаб, В. И. Нечаев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985