Математическая энциклопедия - наилучшего приближения многочлен

наилучшего приближения полином,многочлен, осуществляющий наилучшее приближение функции в той или иной метрике среди всех многочленов, построенных по той же (конечной) системе функций. Если X - линейное нормированное пространство функций (напр., или ) ,

система линейно независимых функций из X, то для любой (обобщенный) Н. п. м.

определяемый соотношением

существует. Единственность Н. п. м. для всех имеет место, во всяком случае, если Xпространство со строго выпуклой нормой (т. е. из следует, что ). Таким является пространство при . В пространстве , норма к-рого не является строго выпуклой, Н. п. м. для любой единствен, если система является чебышевской на т. е. каждый многочлен

имеет на отрезке не более чем нулей. В частности, единственность имеет место для алгебраич. многочленов в а также для тригонометрич. полиномов в пространстве непрерывных на всей оси периодических функций с равномерной метрикой. Если Н. п. м. существует и единствен для любой то он непрерывно зависит от х.

Известны критерии, указывающие необходимые и достаточные признаки Н. п. м. в пространствах и Справедлива, напр., теорема Чебышева: если система является чебышевской, то для того, чтобы многочлен (*) являлся для функции Н. п. м. в метрике пространства необходимо и достаточно, чтобы нашлась система из точек в к-рых разность

принимает значения

причем

Многочлен (*) является Н. п. м. для функции в метрике этого пространства тогда и только тогда, когда

k=1, 2, ... , п. В случае р=1, т. е. в пространстве L1[a, b], условия

достаточны, а если мера множества тех точек tиз ( а, b), где равна нулю, то и необходимы, чтобы был Н. п. м. для см. также Маркова крите рий.

Существуют алгоритмы приближенного построения многочленов наилучшего равномерного приближения (см., напр., [3], [5]).

Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [2] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [3] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [4] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [5] Лоран П. Ж., Аппроксимация и оптимизация, пер. с франц., М., 1975; [6] Ремез Е. Я., Основы численных методов чебышевского приближения, К., 1969.

H. П. Корнейчук, В. П. Моторный.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985