Математическая энциклопедия - наименьших квадратов метод

один из методов ошибок теории для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Н. к. м. применяется также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений. Н. к. м. предложен К. Гауссом (С. Gauss, 1794-95) и А. Лежандром (A. Legendre, 1805-06). Строгое обоснование и установление границ содержательной применимости Н. к. м. даны А. А. Марковым и А. Н. Колмогоровым. В простейшем случае линейных связей (см. ниже) и наблюдений, не содержащих систематич. ошибок, а подверженных лишь случайным ошибкам, оценки неизвестных величин, полученные с помощью Н. к. м., являются линейными функциями от наблюденных значений. Эти оценки не имеют систематич. ошибок, т. е. являются несмещенными (см. Несмещенная оценка). Если случайные ошибки наблюдений независимы и подчиняются нормальному распределению, то Н. к. м. дает оценки неизвестных с наименьшей дисперсией, т. е. эти оценки являются эффективными (см. Статистическое оценивание). В этом смысле Н. к. м. является наилучшим среди всех остальных методов, позволяющих находить несмещенные оценки. Однако если распределение случайных ошибок существенно отличается от нормального, то Н. к. м. может и не быть наилучшим.

При обосновании Н. к. м. (по Гауссу) предполагается, что "убыток" от замены точного (неизвестного) значения нек-рой величины ее приближенным значением X, вычисленным по результатам наблюдений, пропорционален квадрату ошибки оптимальной оценкой считается такая лишенная систематич. ошибки величина X, для к-рой среднее значение "убытка" минимально. Именно это требование и составляет основу Н. к. м. В общем случае отыскание оптимальной в смысле Н. к. м. оценки X - задача весьма сложная, поэтому практически эту задачу сужают и в качестве Xвыбирают линейную функцию от результатов наблюдений, лишенную систематич. ошибки, и такую, для к-рой среднее значение убытка минимально в классе всех линейных функций. Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению и оцениваемая величина mзависит от средних значений результатов наблюдений линейно (случай, весьма часто встречающийся в приложениях Н. к. м.), то решение этой задачи будет одновременно являться и решением общей задачи. При этом оптимальная оценка Xтакже подчиняется нормальному распределению со средним значением и, следовательно, плотность вероятности случайной величины X

достигает максимума в точке (это свойство и выражает точное содержание распространенного в теории ошибок утверждения: "оценка X, вычисленная согласно Н. к. м.,наиболее вероятное значение неизвестного параметра ").

Случай одного неизвестного. Пусть для оценки значения неизвестной величины произведено пнезависимых наблюдений, давших результаты случайные ошибки (по определению, принятому в классич. теории ошибок, случайные ошибки независимые случайные величины с нулевым математич. ожиданием:; если же наз. систематическими ошибками). Согласно Н. к. м. в качестве оценки величины m. принимают такое X, для к-рого будет наименьшей сумма квадратов (отсюда и само название метода):

где

(коэффициент k>0 можно выбирать произвольно). Величину наз. весом, а -квадратичным отклонением измерения с номером . В частности, если все измерения равноточны, то и в этом случае можно положить если же каждое арифметич. среднее из равноточных измерений, то полагают

Сумма будет наименьшей, если в качестве Xвыбрать взвешенное среднее:

Оценка величины лишена систематич. ошибки, имеет вес Ри дисперсию . В частности, если все измерения равноточны, то Y арифметич. среднее результатов измерений:

При нек-рых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений пдостаточно велико, то распределение оценки У мало отличается от нормального с математич. ожиданием m и дисперсией .В этом случае абсолютная погрешность приближенного равенства меньше с вероятностью, близкой к значению интеграла

(напр., ).

Если веса измерений заданы, а множитель кдо наблюдений остается неопределенным, то этот множитель и дисперсия оценки могут быть оценены по формулам:

и

(обе оценки лишены систематич. ошибок).

В том практически важном случае, когда ошибки подчиняются нормальному распределению, можно найти точное значение вероятности, с к-рой абсолютная погрешность приближенного равенства окажется меньше (tпроизвольное положительное число):

где постоянная выбрана таким образом, чтобы выполнялось условие ( Стьюдента распре деление с п-1 степенями свободы). При больших пформулу (2) можно заменить формулой (1). Однако применение формулы (1) при небольших ппривело бы к грубым ошибкам. Так, напр., согласно (1) значению I= 0,99 соответствует t=2,58; истинные значения t, определяемые при малых пкак решения соответствующих уравнений приведены в таблице:

Пример. Для определения массы нек-рого тела произведено 10 независимых равноточных взвешиваний, давших результаты Yi (в г):

(здесь ni число случаев, в к-рых наблюдалась масса ). Так как все взвешивания равноточные, то следует положить и в качестве оценки для неизвестного веса выбрать величину . Задавая, напр.,по таблицам распределения Стьюдента с девятью степенями свободы можно найти, что и поэтому в качестве предельной абсолютной погрешности приближенного равенства следует принять величину

Таким образом,

Случай нескольких неизвестных (линейные связи). Пусть презультатов измерений связаны с тнеизвестными величинами независимыми линейными соотношениями

где известные коэффициенты, а независимые случайные ошибки измерений.

Требуется оценить неизвестные величины (эту задачу можно рассматривать как обобщение предыдущей, в к-рой

Так как то средние значения результатов измерений связаны с неизвестными величинами линейными уравнениями (линейные связи):

Следовательно, искомые величины представляют собой решение системы (4), уравнения к-рой предполагаются совместными. Точные значения измеряемых величин и случайные ошибки обычно неизвестны, поэтому вместо систем (3) и (4) принято записывать так наз. условные уравнения

Согласно Н. к. м. в качестве оценок для неизвестных применяют такие величины , для к-рых сумма квадратов отклонений

будет наименьшей (как и в предыдущем случае,вес измерения,величина, обратно пропорциональная дисперсии случайной ошибки ). Условные уравнения, как правило, несовместны, т. с. при любых значениях разности

не могут, вообще говоря, все обратиться в нуль. Н. к. м. предписывает в качестве оценок выбрать такие значения , к-рые минимизируют сумму S. В тех исключительных случаях, когда условные уравнения совместны и, значит, обладают решением, это решение совпадает с оценками, полученными согласно Н. к. м.

Сумма квадратов Sпредставляет собой квадратичный многочлен относительно переменных ; этот многочлен достигает минимума при таких значениях при к-рых обращаются в нуль все первые частные производные:

Отсюда следует, что оценки , полученные согласно Н. к. м., должны удовлетворять системе т. н. нормальных уравнений, к-рая в обозначениях, предложенных К. Гауссом, имеет вид

где

и

Оценки, получающиеся в результате решения системы нормальных уравнений, лишены систематич. ошибок

дисперсии величин равны

где dопределитель системы (5), а минор, соответствующий диагональному элементу (иными словами,вес оценки ). Если множитель пропорциональности (кназ. дисперсией на единицу веса) заранее неизвестен, то для его оценки, а также для оценки дисперсии служат формулы

(Sминимальное значение исходной суммы квадратов). При нек-рых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений пдостаточно велико, то абсолютная погрешность приближенного равенства меньше с вероятностью, близкой к значению интеграла (1). Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению, то все отношения распределены по закону Стьюдента с п-то степенями свободы (точная оценка абсолютной погрешности приближенного равенства производится здесь с помощью интеграла (2) так же, как в случае одного неизвестного). Кроме того, минимальное значение суммы Sв вероятностном смысле не зависит от и потому приближенные значения дисперсий оценок не зависят от самих оценок

Один из наиболее типичных случаев применения Н. к. м."выравнивание" таких результатов наблюдений , для к-рых в уравнениях (3) где известные функции нек-рого параметра t(если tвремя, то те моменты времени, в к-рые производились наблюдения). Особенно часто встречается в приложениях случай т. н. параболической интерполяции, когда многочлены (напр., ); если а наблюдения равноточные, то для вычисления оценок можно воспользоваться таблицами ортогональных многочленов. Другой важный для приложений случай т. н. гармоническая интерполяция, когда в качестве выбирают три-гонометрич. функции (напр., ).

Пример. Для оценки точности одного из методов химич. анализа этим методом определялась концентрация СаО в десяти эталонных пробах заранее известного состава. Результаты наблюдений указаны в таблице (г номер эксперимента, t;истинная концентрация СаО,концентрация СаО, определенная в результате химич. анализа, ошибка химич. анализа):

Если результаты химич. анализа не имеют систематич. ошибок, то Если же такие ошибки имеются, то в первом приближении их можно представить в виде:(наз. постоянной ошибкой, а методической ошибкой) или, что то же самое,