Математическая энциклопедия - наивысшей алгебраической степени точности квадратурная формула

формула вида

где весовая функция предполагается неотрицательной на и такой, что существуют интегралы

при этом Узлами квадратурной формулы (1) являются корни ортогонального на с весом многочлена степени N, а коэффициенты определяются тем, что квадратурная формула является интерполяционной. Такая квадратурная формула имеет алгебраич. степень точности , т. е. она является точной для всех алгебраич. многочленов степени не выше 2N-1 и не точна для , и наз. квадратурной формулой гауссова типа.

Имеется следующее обобщение квадратурных формул наивысшей алгебраич. степени точности. Пусть в квадратурной формуле

с числом узлов узлы заданы заранее (фиксированные узлы), а узлы выбираются так, чтобы квадратурная формула имела наивысшую алгебраич. степень точности. Пусть

Чтобы квадратурная формула (2) была точна для всех многочленов степени не выше необходимо и достаточно, чтобы она была интерполяционной и многочлен был ортогонален на [ а, b]с весом ко всем многочленам степени не выше п-1. Это приводит вопрос о существовании квадратурной формулы, точной для всех многочленов степени не выше m+2n-1, к нахождению многочлена степени и, ортогонального на [а, b]с весом и выяснению свойств его корней. Если корни действительные, простые, принадлежат [а, b]и их совокупность имеет пустое пересечение с совокупностью фиксированных узлов, то требуемая квадратурная формула существует. Если, кроме того,то ее алгебраич. степень точности равна

При указанных выше предположениях о весовой функции ортогональный на с весом многочлен степени попределяется однозначно (с точностью до отличного от нуля постоянного множителя) в следующих частных случаях.

1), плюбое. Берется один фиксированный узел, совпадающий с концом промежутка при этом выбранный конец промежутка должен быть конечным числом.

2) m=2, n любое. В качестве фиксированных узлов берутся оба конца промежутка [а, b], к-рый считается конечным.

3) тлюбое, п=т+1. В качестве фиксированных узлов берутся корни ортогонального на [а, b] с весом р(х)многочлена

В случаях 1) и 2) многочлен является ортогональным относительно веса сохраняющего знак на промежутке интегрирования [а, b], поэтому его корни действительные, простые, лежат внутри ( а, b) и, следовательно, не совпадают с аи b. Квадратурная формула (2) существует, ее коэффициенты положительны и алгебраич. степень точности равна т+2п-1. Квадратурные формулы, соответствующие случаям 1) и 2), наз. формулами Маркова.

В случае 3) вес меняет знак на и это осложняет исследование корней . Если где то корни лежат внутри и разделяются корнями : между любыми двумя соседними корнями лежит точно один корень многочлена (см. [2]).

Для рассматриваемого веса квадратурная формула (2) существует и точна для всех многочленов степени не выше ; однако нельзя утверждать, что алгебраич. степень точности равна . При узлы и коэффициенты квадратурной формулы можно указать явно (см. [3]), при этом алгебраич. степень точности в первом случае повышается до а во втором до Для и промежутка [0, 1] вычислены (см. [4]) узлы и коэффициенты квадратурной формулы (2) (с фиксированными узлами типа 3)) при (тменяется от 1 до 40 с интервалом 1); алгебраич. степень точности равна при тчетном и равна при тнечетном. Квадратурная формула (2) с фиксированными узлами типа 3) существует также для промежутка и веса при при этом узлы и коэффициенты можно указать явно (см. [3]).

Лит.:[1] Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967; [2] Szego G., "Math. Ann.", 1934, Bd 110, Н. 4, S. 501-13; [3] Мысовских И. П., "Изв. АН БССР. Сер. фаз.-тэхщч. навук", 1964, .№ 4, с. 125-27; [4] Кронрод А. С, Узлы и веса квадратурных формул. Шестнадцатизначные таблицы, М., 1964. И. П. Мысовских.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985