Математическая энциклопедия - основания геометрии

раздел геометрии, в к-ром исследуются основные понятия геометрии, соотношения между ними и связанные с ними вопросы.

Важная роль основных понятий и соотношений между ними, на базе к-рых строятся определения фигур и доказываются геометрич. предложения, отмечается уже в работах античных геометров. Так, развивая дедуктивный метод в геометрии, они указывали на особую роль основных понятий, аксиом и постулатов, составляющих фундамент геометрии. В "Началах" Евклида (3 в. до н. э.) аксиомам и постулатам предпослана цепь определений всех понятий, к-рые используются в дальнейшем изложении. Среди этих определений особое место принадлежит понятиям "точка", "прямая", "плоскость", определения к-рых не опираются на другие геометрич. понятия. Сами определения этих основных понятий с геометрич. точки зрения неудовлетворительны, т. к. они выражают лишь характерное физич. свойство (напр., "точка есть то, что не имеет частей", т. е. под точкой понимается малое физически неделимое тело). Поэтому уже в трудах геометров, написанных почти одновременно с "Началами", содержатся многочисленные комментарии и критич. анализ определений основных и других геометрич. понятий, аксиом и постулатов. Но это были лишь уточнения, не затрагивающие основы определений. По существу, доказательства многих гоометрич. теорем опирались в основном на наглядность чертежа, на физич. осуществимость необходимых геометрич. построений, а не выводились строго логически из аксиом и постулатов. Только в 19 в. и особенно в нач. 20 в. появляются работы, в к-рых выясняется все глубокое значение основных понятий и соотношений между ними для логически безупречного дедуктивного метода построения геометрии и ее обоснования. Причем во многом этому углубленному анализу основ геометрии способствовало открытие неевклидовой геометрии Лобачевского (1826). Результаты по обоснованию евклидовой геометрии на основе тех же принципов и понятий, что и в "Началах" Евклида, содержатся в работах Дж. Пеано (G. Реапо, 1894), М. Паша (М. Pasch, 1882), М. Пиери (М. Pieri, 1899), Д. Гильберта (D. Hilbert) и др. Наибольшую известность получила Гильберта система аксиом евклидовой геометрии (1899). Добиваясь логически удовлетворительного построения евклидовой геометрии, Д. Гильберт выделил 5 групп аксиом, показал их необходимость и достаточность для построения всей евклидовой геометрии. Вместе с тем впервые была проведена логич. обработка всей системы, выяснена непротиворечивость системы с помощью построения числовой модели, установлена независимость групп аксиом, а также полнота системы. В отличие от концепции пространства как "места" для всех фигур, проводимой в "Началах", Д. Гильберт рассматривает его как множество всех "точек", "прямых", "плоскостей" и фигур, построенных на основе этих понятий.

Набор основных понятий в системе Гильберта был заимствован (и уточнен) из "Начал", однако эта система является, по существу, чисто геометрич. схемой, свободной от ссылок на наглядность чертежа. Вместе с тем язык геометрии, построенной на основе системы Гильберта, почти не отличается от языка "Начал".

Почти одновременно с системой Гильберта появились и др. системы аксиом евклидовой геометрии. Так, в системе Ф. Шура (F. Schur, 1909) в качестве основных понятий были "точка", "отрезок" и т. д., а вместо "конгруэнтности" фигур в этой системе вводилось понятие "движение". Введение понятия "движение" позволило применить в геометрии групповой подход к исследованию движений, алгебраизировать методы исследования. Упомянутые выше геометрич. схемы не полностью удовлетворяют требованиям дальнейшего обобщения понятия пространства и др. понятий и, кроме того, недостаточно "алгебраичны".

Новые подходы к обоснованию евклидовой геометрии потребовали выработки нового "языка", с помощью к-рого оказывается возможным провести соответствующие дальнейшие обобщения понятий, алгебраизацию доказательств, классификацию объектов и т. д. Одной из распространенных схем основания евклидовой геометрии, в к-рой сконцентрированы возможности обобщений, перевода на язык алгебры геометрич. понятий, является система аксиом, предложенная Г. Вейлем (Н. Weil, 1916). Ниже приводится одна из транскрипций схемы Вейля.

Трехмерное евклидово пространство определяется как множество, состоящее из элементов двух родов "точек" и "векторов", удовлетворяющих следующим 4 группам аксиом:

I группа аксиомы, определяющие соотношения между точками и векторами. I Х. Существует по меньшей мере одна точка. I2. Каждой упорядоченной паре точек поставлен в соответствие один и только один вектор. I3Для каждой точки Аи каждого вектора асуществует одна и только одна точка Втакая, что

( есть вектор я). I4. Если , то =.

На основе этой группы аксиом определяется сумма векторов, к-рая удовлетворяет требованиям коммутативности и ассоциативности. Существует нуль-вектор, противоположный вектор. Векторы по сложению образуют группу.

II группа аксиомы, описывающие операцию умножения вектора на число. II1. Каждому вектору а и каждому поставлен в соответствие определенный вектор ka(ka наз. произведением вектора а, на число k).II2. Умножение вектора на 1. не изменяет вектора. II3. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел (k1+k2)a= k1a+k2a.II4. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов k(a1+a2)=ka1+ka2 II5. Умножение вектора на число ассоциативно

k1(k2a)=(k1k2)a

С помощью операций сложения и умножения на число определяется линейная комбинация векторов, их линейная зависимость.

III группа определяет размерность пространства. IIIi. Существуют три линейно независимых вектора, но всякие четыре линейно зависимы.

Эта аксиома имеет топологич. характер; из нее вместе со второй группой аксиом следует, что R³ является топологич. пространством размерности 3. Первые три группы аксиом определяют трехмерное аффинное пространство.

IV группа определяет метрич. свойства. IV1. Любым двум векторам а и b поставлено в соответствие определенное число (скалярное произведение) (a, b)=l, . IV2. Симметричность скалярного произведения: (a, b) =(b, a). IV3. Дистрибутивность скалярного произведения ( а, b+c)=(a, b)+( а, с). IV4. Для имеет место (a, kb)=k(a, b).IV5. Скалярный квадрат вектора неотрицателен , причем ( а, a)=0 только для нуль-вектора.

На основе IV группы аксиом определяется расстояние между точками, угол между векторами и т. д.; с помощью векторов "отрезки", "прямые", "плоскости" и т. д.

Схема Вейля допускает обобщение на случай любой размерности, с помощью соответствующего изменения аксиом в эту схему включаются гиперболич. и эллиптич. пространства и т. д.

Система аксиом Вейля евклидовой геометрии является непротиворечивой, независимой и удовлетворяет требованию полноты (категоричности, или минимальности). Непротиворечивость устанавливается с помощью числовой модели: упорядоченным тройкам чисел (x¹, x², x³), ; i=1, 2, 3, ставятся во взаимно однозначное соответствие "точки" пространства . Вектор с началом в и концом в определяется тройкой а=( а ¹, а ², а ³), ; i=1, 2, 3. Сумма векторов (a¹, a², a³) и (b¹, b², b³).определяется тройкой (a¹+b¹, a²+b², a³+b³), произведение вектора (а ¹, а ², а ³) на число есть тройка (ka¹, ka², ka³). Скалярное произведение векторов (а ¹, а ², а ³) и (b¹, b², b³).выражается числом . Базисные векторы (тройка линейно независимых векторов) можно изображать тройками e¹⁼(1,0,0), e²=(0,1,0), е ³⁼(0,0,1). Для доказательства независимости аксиом друг от друга и независимости групп аксиом строится интерпретация системы, получающейся из данной путем замены какой-либо ее аксиомы ее отрицанием. Полнота системы выводится из полноты множества действительных чисел.

В качестве основных понятий при создании схемы евклидовой геометрии могут быть положены геометрич. преобразования. Так, в системе аксиом Ф. Бахмана (P. Bachmann) в качестве такого понятия вводится преобразование симметрии. С помощью симметрии, порождающих группу движений евклидовой (метрической) плоскости, определяются "точки" и "прямые" как инволютивные элементы этой группы. Теоретико-групповые отношения являются основой при определении понятий "инцидентность", "ортогональность" и т. п., геометрич. доказательства заменяются вычислениями, переводятся на язык алгебры.

Обоснование евклидовой геометрии влияло и на разработку вопросов обоснования неевклидовых геометрий. В кон. 19 нач. 20 вв. сформировались основные современные методы и подходы в О. г. Новые подходы к понятиям, лежащим в основе геометрии, были разработаны Б. Рпманом (В. Riemann), С. Ли (S. Lie), Ф. Клейном (F. Klein), А. Кэли (A.. Cayley) и др. В основу геометрич. понятий были положены многомерные многообразия, группы преобразований, действующих на многообразиях, инварианты групп преобразований и т. п.

Групповой подход впервые был четко сформулирован в эрлангенской программе Ф. Клейна: геометрич. пространство определяется как множество Ф с фиксированной группой Wего преобразований; объектом геометрии является изучение W-инвариантных свойств пространства. (Напр., n-мерное аффинное пространство А ⁿ определяется как множество, на к-ром просто транзитивно действует векторная группа размерности п.) С. Ли, Ф. Клейн, А. Кэли провели исследование групп преобразований, на основе к-рого возникают новые возможности в классификации и обосновании евклидовой и неевклидовых геометрий как геометрий определенных групп преобразований. Геометрия становится учением об инвариантах групп преобразований, и О. г. опирается на теорию групп.

В работах Б. Римана был разработан метрич. подход к О. г. Геометрич. пространство рассматривается как множество, снабженное метрикой, к-рая удовлетворяет тем или иным аксиомам. Б. Риман показал, что все внутренние свойства пространства определяются заданной квадратичной дифференциальной формой (кривизна, геодезич. линии и т. д.), тем самым были открыты широкие классы различных метрич. геометрий. Впервые классификация пространств и их геометрий была осуществлена на метрич. основе. Б. Риман указал на особую роль выбора координат в точечном многообразии для исследования самих квадратичных форм. Так, для пространства постоянной римановой кривизны Б. Риман привел стандартный вид, к к-рому может быть приведена квадратичная форма путем соответствующего выбора координат.

Координатный метод евклидовой геометрии был обобщен для различных пространств, а также нашел развитие в дифференциальной геометрии; понятие многообразий, опирающееся на выбор координатных систем, получает многочисленные применения в геометрии. Групповой подход к исследованию преобразований дифференциально-геометрич. объектов позволил создать теорию инвариантов метрических (квадратичных) форм. Эта теория инвариантов групп преобразований явилась основой для построения и логич. обоснования современной дифференциальной геометрии. В качестве одного из основных понятий выкристаллизовалось понятие геометрич. объекта, геометрия рассматривается как геометрических объектов теория. Понятие дифференцируемого многообразия позволяет дать строгие определения дифференциально-геометрич. объектам, в частности обосновать методы анализа в геометрии и геометрич. методы в анализе.