Математическая энциклопедия - релаксационное колебание

периодический процесс, при к-ром медленное, плавное изменение состояния объекта в течение конечного промежутка времени чередуется с быстрым, скачкообразным изменением его состояния за бесконечно малое время. Такие колебательные процессы наблюдаются во многих реальных механических, радиотехнических, биологических и др. объектах (см., напр., [1]-[3]).

Математич. моделью, описывающей Р. к., являются автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнении с малым параметром при части производных:

(1)

Периодическое по времени tрешение такой системы и наз. р е л а к с а ц и о н н ы м к о л е б а н и е м. Классич. примером системы с одной степенью свободы, имеющей Р. к., служит Ван дер Поля уравнение

(2)

при больших положительных значениях параметра l(с этой точки зрения уже значение l= 10 можно считать большим). Если положить

то уравнение (2) приводится к системе типа (1):

Вопрос о существовании и числе Р. к. системы (1) решается в терминах в ы р о ж д е н н о й с и с т е м ы

(3)

являющейся гибридной системой уравнений. Траектории системы (3) в фазовом пространстве естественно трактовать как пределы фазовых траекторий н е в ы р о ж д е н н о й с и с т е м ы (1) при В частности, траектория Р. к. системы (1) при стремится к замкнутой траектории системы (3), состоящей из чередующихся участков двух типов: участков, проходимых фазовой точкой системы (3) за конечное время (каждый из них лежит на поверхности f(x, y)=0), и участков, проходимых фазовой точкой системы (3) мгновенно (каждый из них начинается в т о чк е с р ы в а, т. е. в точке, где

лежит в плоскости, параллельной ', и кончается на поверхности ). Решение системы (3), соответствующее такой замкнутой траектории, наз. р а з р ы вн ы м п е р и о д и ч е с к и м р е ш е н и е м , а потому Р. к. системы (1) часто наз. п е р и о д и ч е с к и м р е ш е н и е м, б л и з к и м к р а з р ы в н о м у, или даже просто р а з р ы в н ы м к о л е б а н и е м. (Система (3) может иметь замкнутую траекторию, целиком лежащую на поверхности и не проходящую через точки срыва. В таком случае система (1) имеет близкую к ней замкнутую траекторию, однако соответствующее ей периодич. решение системы (1) не будет Р. к.; см. [6].)

Важной задачей является асимптотич. (при ) вычисление фазовой траектории Р. к. системы (1), а также получение асимптотич. формул для характеристик этого колебания его периода, амплитуды и т. д. Вычисление траектории Р. к. уравнения Ван дер Поля (2) проводил А. А. Дородницын [7], построивший асимптотич. приближения при для амплитуды

и для периода (см. также [8])

В случае системы (1) 2-го порядка (т. е. при k=m=1) с точками срыва общего положения проблема асимптотич. вычисления Р. к. решена полностью [9]. В частности, выяснена структура асимптотич. разложения при 0 периода Р. к.:

где

а коэффициенты, эффективно вычисляемые непосредственно по функциям и (см. [10]). Для общей системы (1) произвольного порядка остается (1983) не перекрытым результат Л. С. Понтрягина и Е. Ф. Мищенко, вычисливших асимптотику Р. к. с точностью до (см. [11], [12], [9]).

Изучался также вопрос о периодич. решениях типа Р. к. неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см., напр., [13]).

Лит.: [1] А н д р о н о в А. А., В и т т А. А., X а й к и н С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; [2] Л а н д а П. С., Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы, М., 1980; [3] Р о м а н о в с к и й Ю. М., С т е п ан о в а Н. В., Ч е р н а в с к и й Д. С., Математическое моделирование в биофизике, М., 1975; [4] V a n d е r Р о lВ., "Phil. Mag. Ser. 7", 1926, v. 2, № 11, p. 978-92; [5] Ж е л е з ц о в Н. А., Родыгин Л. В., "Докл. АН СССР", 1951, т. 81, № 3, с .391 94; [6] А н о с о в Д. В., "Матем. сб.", 1960, т. 50, № 3, с. 299-334; [7] Д о р о д н и ц ы н А. А., "Прикл. матем. и механ.", 1947, т. 11, № 3, с. 313-28; [8] Ж а р о в М. И., Мищенко Е. Ф., Р о з о в Н. X., "Докл. АН СССР", 1981, т. 261, № 6, с. 1292-96; [9] М и щ е н к о Е. Ф., Р о з о в Н. X., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., 1975; [10] Р о з о в Н. X., "Докл. АН СССР", 1962, т. 145, № 1, с. 38-40; [11] П о н т р я г и н Л. С., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1957, т. 21, № 5, с. 605-26; [12] М и щ е н к о Е. Ф., там же, с. 627-54; [13] L e v i М., "Mem. Amur. Math. Soc.", 1981, v. 32, № 244. Н. Х. Розов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985