Математическая энциклопедия - алгебраическая группа преобразований

алгебраическая группа G, действующая регулярно на алгебраич. многообразии V. Точнее, А. г. п. есть тройка морфизм алгебраич. многообразий, удовлетворяющий условиям: для всех и g, (еединица G). Если определены над полем k, то наз. алгебраич. группой k-преобразований. Напр., присоединенное действие или действие посредством сдвигов, является А. г. п. Если G - алгебраич. подгруппа в GL(n), ее естественное действие в аффинном пространстве А. г. п. Для всякой точки через обозначается орбита х, а через стабилизатор х. Орбита не обязательно замкнута в V, но всегда существуют замкнутые орбиты, напр, замкнутые орбиты минимальной размерности. Иногда под А. г. п. понимается алгебраич. группа G, действующая рационально (но не обязательно регулярно) на алгебраич. многообразии V(это значит, что рациональное отображение, а выписанные выше свойства т выполнены для общих точек). Как показал А. Вейль [3], всегда существует многообразие бирационально изоморфное Vи такое, что действие индуцированное рациональным действием Gна V, регулярно. Задачи описания орбит, стабилизаторов, полей инвариантных рациональных функций (см. Инвариантов теория).и построения фактормногообразий являются основными в теории А.

г. п. и имеют многочисленные применения.

Лит.: [1]Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Дьедонне Ж., Керрол Д ж., Мамфорд Д., Гее метрическая теория инвариантов, пер. с англ., М., 1974; [3] Well A., "Amer. J. Math.", 1955, v. 77, Ms 2, p. 355-91. В. .