Математическая энциклопедия - бергмана - вейля представление

БергманаВейля формула, Вейля формула,интегральное представление голоморфных функций, полученное А. Вейлем и С. Бергманом (см.[1], [2]) и определяемое следующим образом. Пусть область голоморфности в , функции голоморфны в и

Тогда любую функцию голоморфную в и непрерывную в в любой точке , можно представить формулой

где суммирование производится по всем а интегрирование по соответствующим образом ориентированным -мерным поверхностям образующим остов области (см. Аналитический полиэдр), а функции голоморфны в области и определяются в соответствии с Xефера теоремой (см. [3], с. 245) из равенств

Интегральное представление (*) наз. представлением БергманаВейля.

Области V, фигурирующие в Б.В. п., наз. областями Вейля; обычно для них требуется дополнительное условие, чтобы ранги матриц , на соответствующих множествах

были максимальными для всех (такие области Вейля наз. регулярными). Области Вейля в Б.В. п. можно заменить аналитическими полиэдрами

где ограниченные области с кусочно гладкими границами на плоскости . Б,В. п. определяет значение голоморфной функции внутри аналитич. олиэдра по значениям на его остове ; при размерность строго меньше размерности . При аналитич. олиэдры вырождаются в области с кусочно гладкими границами, остов и граница совпадают, а если еще и , то Б.В. п. совпадает с интегральной формулой Коши.

Важным свойством Б,В. П. является голоморфность (по ) его ядра. Поэтому если вместо голоморфной функции поставить произвольную интегрируемую на а функцию, то правая часть Б.В. п. даст функцию, голоморфную всюду в и почти всюду в ; такие функции наз. интегралами типа БергманаВейля. Если голоморфна в и непрерывна в , то ее интеграл типа Бергмана Вейля равен нулю почти всюду в

Из В.В. п. в области Вейля после замены

получается разложение Вейля

в ряд по функциям, голоморфным в области D, и этот ряд сходится равномерно на компактных подмножествах V.

Лит.:[1] WеilA., "Math. Ann.", 1935, Bd 111,8.178-82; [2] Bergman S., "Матем., сб.", 1936, т. 1, с. 242-57; [3] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964. Е. М. Чирка.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985