Математическая энциклопедия - бергмана кернфункция

функция комплексных переменных, обладающая свойством воспроизводящего ядра и определяемая для любой области , в к-рой существуют голоморфные функции f не тождественные 0, принадлежащие классу по мере Лебега Введена С. Бергманом [1]. Множество указанных функций образует гильбертово пространство с ортонормированным базисом , где пространство голоморфных функций. Функция

наз. Б. к. (или просто кернфункцией) области D. Ряд справа равномерно сходится на компактных подмножествах и принадлежит при каждом фиксированном , его сумма не зависит от выбора орто-нормированного базиса . Б. к. зависит от комплексных переменных и определена в области ; она обладает свойством симметрии , голоморфна по переменным z и антиголоморфна по . Если , , то

где

Основным свойством Б. к. является ее воспроизводящее свойство: для любой функции и любой точки справедливо интегральное представление

Экстремальные свойства Б. к. 1) Для любой точки

2) Пусть точка такова, что в классе имеются функции с условием . Тогда функция удовлетворяет этому условию и имеет норму , минимальную для всех таких f. Функция наз. экстремальной функцией области D.

Изменение Б. к. при биголоморфных отображениях выражается в следующей теореме: если биголоморфное отображение области на область , , , то

где якобиан обратного отображения; Благодаря этому свойству эрмитова квадратичная форма

инвариантна относительно биголоморфных отображений.

Функция , к-рую также наз. кернфунк-цией, играет значительную роль во внутренней геометрии областей. В общем случае она неотрицательная, а функция плюрисубгармоническая. В областях , для к-рых положительная (напр., в ограниченных областях), функции и строго плюрисубгармонические. Последнее эквивалентно тому, что в таких областях указанная форма положительно определена и, следовательно, задает в эрмитову риманову метрику. Эта метрика не меняется при биголоморфных отображениях и наз. метрикой Бергмана. Ее можно рассматривать как частный случай Кэлера метрики. Из экстремального свойства 1) следует, что коэффициенты метрики Бергмана неограниченно возрастают при подходе к нек-рым граничным точкам. Если строго псевдовыпуклая область или аналитич. олиэдр, то неограниченно возрастает при любом подходе z к границе области D. Всякая область, обладающая этим свойством Б. к., является областью голоморфности.

Для простейших областей Б. к. вычисляется в явном виде. Напр., Б. к. для шара В: в имеет вид:

для поликруга :

В частном случае, когда и область есть круг на комплексной плоскости , метрика Бергмана обращается в классическую гиперболич. метрику

инвариантную относительно конформных отображений и определяющую в геометрию Лобачевского.

Лит.:[l] Bergman S., The kernel function and conformal mapping, N. Y., 1950; [2] Фукс Б. А., Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных, М., 1963; [3] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969, ч. 2, гл. 4. Е. М. Чирка.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985