Математическая энциклопедия - бертрана парадокс

(в теории вероятностей) один из парадоксов, связанных с нечеткой формулировкой исходных допущений при решении вероятностных задач. Отмечен Ж. Бертраном [1]. В задаче Бертрана разыскивается вероятность того, что длина хорды, "наудачу" выбранной в круге радиуса 1, превзойдет длину стороны вписанного правильного треугольника: Ж. Бертран указывает три различных значения искомой вероятности , в зависимости от того, какими параметрами характеризуется положение хорды (в первом случае расстоянием до центра круга и углом между нормалью к хорде и осью x;во втором угловыми координатами и точек пересечения хорды с окружностью; в третьем декартовыми координатами основания перпендикуляра, опущенного из центра круга; во всех трех случаях центр круга расположен в начале координат). А. Пуанкаре [2] показал, что источник парадокса заключается в следующем: каждый раз соответствующую пару параметров предполагают равномерно распределенной в соответствующей области и таким образом решают три различные задачи. Если распределение к.-л. пары (скажем,) фиксировано, то распределение любых других параметров однозначно вычисляется (и не обязано быть равномерным, даже если распределены равномерно). Наиболее естественным (с геометрической точки зрения) является предположение о том, что независимы и распределены равномерно в интервале (см. [3]).

Лит.:[1] Bertrand J., Calcul des probability, P., 1889; [2] Роinсаre Н., Calcul des probabilites, 2 ed., P., 1912; [3] Кендалл М., Мораи П., Геометрические вероятности, пер. с англ., М., 1972. А. В. Прохоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985