Математическая энциклопедия - бернулли автоморфизм

автоморфизм пространства с мерой:, описывающий Бернулли испытания и их обобщение последовательность независимых испытаний, имеющих одни и те же исходы и одно и то же распределение вероятностей.

Пусть Асовокупность всевозможных исходов испытания, а вероятность события дается мерой ; для счетного Аобозначим его элементы через и их вероятности через . Фазрвым пространством Б. а. служит прямое произведение счетного числа экземпляров множества А, т. е. точки фазового пространства суть бесконечные последовательности , где kпробегает множество целых чисел и каждое . Преобразование Тсостоит в сдвиге всех членов каждой последовательности влево на одно место: . Мера определяется как прямое произведение счетного числа мер ; таким образом, если Асчетно, то

В последнем случае энтропия Б. п. равна -.

В эргодической теории Б. а. (точнее, получающийся при его итерировании каскад) играет роль стандартного примера динамич. системы, в поведении к-рой проявляются статистич. свойства. Б. а. является А-автомор-физмом, но существуют. К-автоморфизмы, метрически неизоморфные Б. а;, хотя многие K-автоморфизмы метрически изоморфны Б. а. Два Б. а. метрически изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую энтропию [1]. Б. а. является факторавтомор-физмом любого эргодического автоморфизма пространства Лебега с большей энтропией [2].

Лит.:[1] Орнштейн Д., "Математика", 1971, т. 15, № 1, с. 114-30, 131-50; [2] Синай Я. Г., "Матем. сб.", 1964, т. 63, № 1, с. 23-42. Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985